【线性代数】转置矩阵与逆矩阵, 矩阵的秩(transpose matrix & inverse matrix, rank)

矩阵的转置 – 转置矩阵

矩阵中行号和列号相等的元素构成的对角线被称为矩阵的主对角线(main diagonal), 矩阵的转置就是以这条轴为镜像，进行 坐下角与右上角元素的翻转, 即

• 主对角线上的元素不动
• 其余元素行号和列号互换，变换位置

得到的新矩阵叫做原矩阵的转置矩阵。

$$(A^T)_{i,j} = A_{j,i}$$

矩阵的求逆 – 逆矩阵

矩阵$\mathbf A$ 的逆矩阵，记做 $\mathbf A ^ {-1}$, 定义为

$$\mathbf A^{-1}\mathbf A = \mathbf A\mathbf A^{-1} = \mathbf I_n$$ , 矩阵的逆是一个很重要的概念，因为对于一般的线性方程 $$\mathbf {Ax} = \mathbf b$$ (其中 $\mathbf A$ 是矩阵， $\mathbf {x, b}$是向量), 其解析解为 $$\mathbf x = \mathbf{A^{-1}b}$$ . 对于一个任意的矩阵 $\mathbf A$ q求逆，有两个核心问题

1. $\mathbf{A^{-1}}$ 是否存在
2. 若$\mathbf{A^{-1}}$ 存在，如何求解出来

首先，判断是否存在，我们有

只有非奇异的方阵，才有逆矩阵。

• 方阵，意味着行数和列数相等
• 非奇异，意味着所有的列向量都是线性无关的，即满秩

矩阵的秩(rank)

在线性代数中，一个矩阵$\mathbf A$ 的列秩是$\mathbf A$ 的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是$\mathbf A$ 的线性无关的横行的极大数目,记做 $r(\mathbf A ),rk(\mathbf A ), rank(\mathbf A )$.
一个很有意思的概念，值得单写一篇.