宝东老师的有两套视频
https://www.bilibili.com/video/av24188459
https://www.icourse163.org/course/HIT-1002117005
1、 全排列
(1)排列:像 1、2、3、4 … n 这样一堆有顺序的数
★
★
,放在一起
(2)用
P1,P2…Pn
P
1
,
P
2
…
P
n
代表第1,第2 … 第n个数。则存在的排列共有
n!
n
!
种 (
∏ni=0n
∏
i
=
0
n
n
)
2、逆序数
在排列中取任意两个数,组成 (Pi,Pj) ( P i , P j ) 序对,如果 Pi>Pj P i > P j , 则当 1, 否则当0.
τ(312)=0+1+1=2 τ ( 3 1 2 ) = 0 + 1 + 1 = 2
3、奇偶排列
-
(1)偶排列
- 逆序数是偶数
- 自然排列( 1,2,… , n )逆序数是0,也属于偶排列 (2)奇排列
- 逆序数是奇数
定理:对换改变奇偶性
证明:分两种情况
1、相邻对换时,设
-
(
1o
1
o
) a < b 时。
-
在(1)、(2) 的 a1∼as,b1∼bt a 1 ∼ a s , b 1 ∼ b t 中任意的 ai,bj a i , b j ,它的逆序数是相同的。所以只考虑 a b a b 位置
- 又此时 τ(b,a)=1 τ ( b , a ) = 1 。所以 a a 在(1)中的逆序数比(2)中大1。
- 在 (1)(2) 中逆序数相等。( (1) 前面插的
a
a
比 小)
总的来看,全排列(2)的逆序数比(1)大1。所以(1),(2) 奇偶性相反。
(
2o
2
o
) a > b 时
- 同理,此时(1)中 τ(a,b)=1 τ ( a , b ) = 1 ,逆序数比 (2) 大1,两者奇偶性相反。
2、一般对换时,设
-
(
1o
1
o
) 将(3)中的
b
b
依次往左和 作相邻变换,得到
- 一共经过 t 次变换。 ( 2o 2 o ) 再讲 a a 往后与 作相邻变换,到原来 b b 位置,得到(4)
- 一共经过 t+1 次对换。 ( 3o 3 o ) 总的,一共得到 2t+1 2 t + 1 次对换。
- 也就是增加了新排列的逆序数 = τ(原排列)+2t+1 τ ( 原 排 列 ) + 2 t + 1 ,原来是偶现在肯定编程奇,原来是奇现在肯定变成偶。即(3)和(4)奇偶性肯定相反。
证毕。
★ ★ 利用定理可以推出:
排列n >=2时,里面奇偶排列的个数各占一半。
4、行列式的定义
相关阅读 https://www.zybuluo.com/yangfch3/note/271783
二三阶
-
主对角线取正、次对角线取负
-
∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣=a11a22−a12a21
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
分析
- (1) 几阶就有 n! n ! 个项 (3阶就是6个)
-
(2)
所有可能的取自不同行不同列的 3 个元素之积
行指标按自然顺序排列时,列指标(123)(231)(312)为正,(321)(213)(132)为负<
通项: (−1)τ(P1P2P3)a1P1a2P2a3P3 ( − 1 ) τ ( P 1 P 2 P 3 ) a 1 P 1 a 2 P 2 a 3 P 3
N 阶行列式
取自不同行不同列的N个元素之积
直接用通项取解问题几乎是不可能的。但是可以用来解决特殊的行列式。比如上三角行列式。
∣∣∣∣∣∣∣a110⋮0a12a22⋮0⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣=(−1)τ(12⋅⋅⋅n)a11a22⋅⋅⋅ann=a11a22⋅⋅⋅ann | a 11 a 12 ⋯ a 1 n 0 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n n | = ( − 1 ) τ ( 12 · · · n ) a 11 a 22 · · · a n n = a 11 a 22 · · · a n n
同样的,下三角行列式也是这个结果。
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自然而然的,就会想有没有办法把一般行列式转换为这类特殊行列式?引出行列式的性质