代数 基础1

宝东老师的有两套视频
https://www.bilibili.com/video/av24188459
https://www.icourse163.org/course/HIT-1002117005


全排列

全排列2

1、 全排列

(1)排列:像 1、2、3、4 … n 这样一堆有顺序的数 ,放在一起
(2)用 P1,P2Pn P 1 , P 2 … P n 代表第1,第2 … 第n个数。则存在的排列共有 n! n ! 种 ( ni=0n ∏ i = 0 n n )

2、逆序数

在排列中取任意两个数,组成 (Pi,Pj) ( P i , P j ) 序对,如果 Pi>Pj P i > P j , 则当 1, 否则当0.

τ(312)=0+1+1=2 τ ( 3 1 2 ) = 0 + 1 + 1 = 2

3、奇偶排列
(1)偶排列
逆序数是偶数
自然排列( 1,2,… , n )逆序数是0,也属于偶排列
(2)奇排列
逆序数是奇数

定理:对换改变奇偶性

证明:分两种情况
1、相邻对换时,设

a1a2a3as a b b1b2bta1a2a3as b a b1b2bt(1)(2) (1) a 1 a 2 a 3 · · · a s   a   b   b 1 b 2 · · · b t (2) a 1 a 2 a 3 · · · a s   b   a   b 1 b 2 · · · b t

( 1o 1 o ) a < b 时。
a1aiassb1bjbtt a 1 ⋅ a i ⋯ a s ⏟ s b 1 ⋅ b j ⋯ b t ⏟ t

在(1)、(2) 的 a1asb1bt a 1 ∼ a s , b 1 ∼ b t 中任意的 ai,bj a i , b j ,它的逆序数是相同的。所以只考虑 a b a   b 位置

又此时 τ(b,a)=1 τ ( b , a ) = 1 。所以 a a 在(1)中的逆序数比(2)中大1。
b 在 (1)(2) 中逆序数相等。( (1) 前面插的 a a b 小)
总的来看,全排列(2)的逆序数比(1)大1。所以(1),(2) 奇偶性相反。
( 2o 2 o ) a > b 时
同理,此时(1)中 τ(a,b)=1 τ ( a , b ) = 1 ,逆序数比 (2) 大1,两者奇偶性相反。

2、一般对换时,设

a1a2a3as a b1b2bt b c c1c2cma1a2a3as b b1b2bt a c c1c2cm(3)(4) (3) a 1 a 2 a 3 · · · a s   a   b 1 b 2 · · · b t   b   c   c 1 c 2 · · · c m (4) a 1 a 2 a 3 · · · a s   b   b 1 b 2 · · · b t   a   c   c 1 c 2 · · · c m

( 1o 1 o ) 将(3)中的 b b 依次往左和 b1b2bt 作相邻变换,得到
a1a2a3as a b b1b2bt c c1c2cm(--) (--) a 1 a 2 a 3 · · · a s   a   b   b 1 b 2 · · · b t   c   c 1 c 2 · · · c m
一共经过 t 次变换。
( 2o 2 o ) 再讲 a a 往后与 b b1b2bt 作相邻变换,到原来 b b 位置,得到(4)
一共经过 t+1 次对换。
( 3o 3 o ) 总的,一共得到 2t+1 2 t + 1 次对换。
也就是增加了新排列的逆序数 = τ()+2t+1 τ ( 原 排 列 ) + 2 t + 1 ,原来是偶现在肯定编程奇,原来是奇现在肯定变成偶。即(3)和(4)奇偶性肯定相反。

证毕。

利用定理可以推出:
排列n >=2时,里面奇偶排列的个数各占一半。

end


hang

4、行列式的定义

相关阅读 https://www.zybuluo.com/yangfch3/note/271783

二三阶

主对角线取正、次对角线取负
a11a21a12a22=a11a22a12a21 | a 11 a 12 a 21 a 22 | = a 11 a 22 − a 12 a 21
three
分析
(1) 几阶就有 n! n ! 个项 (3阶就是6个)
(2) 所有可能的取自不同行不同列的 3 个元素之积
行指标按自然顺序排列时,列指标(123)(231)(312)为正,(321)(213)(132)为负<
通项: (1)τ(P1P2P3)a1P1a2P2a3P3 ( − 1 ) τ ( P 1 P 2 P 3 ) a 1 P 1 a 2 P 2 a 3 P 3

N 阶行列式
取自不同行不同列的N个元素之积

a11a21an1a12a22an2a1na2nann=P1P2Pn(1)τ(P1P2P3)a1P1a2P2anP3 | a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n | = ∑ P 1 P 2 · · · P n ( − 1 ) τ ( P 1 P 2 P 3 ) a 1 P 1 a 2 P 2 a n P 3

直接用通项取解问题几乎是不可能的。但是可以用来解决特殊的行列式。比如上三角行列式。

a1100a12a220a1na2nann=(1)τ(12n)a11a22ann=a11a22ann | a 11 a 12 ⋯ a 1 n 0 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n n | = ( − 1 ) τ ( 12 · · · n ) a 11 a 22 · · · a n n = a 11 a 22 · · · a n n

同样的,下三角行列式也是这个结果。
special

自然而然的,就会想有没有办法把一般行列式转换为这类特殊行列式?引出行列式的性质

(本节完)


结束条幅

内容概要:该论文探讨了一种基于粒子群优化(PSO)的STAR-RIS辅助NOMA无线通信网络优化方法。STAR-RIS作为一种新型可重构智能表面,能同时反射和传输信号,与传统仅能反射的RIS不同。结合NOMA技术,STAR-RIS可以提升覆盖范围、用户容量和频谱效率。针对STAR-RIS元素众多导致获取完整信道状态信息(CSI)开销大的问题,作者提出一种在不依赖完整CSI的情况下,联合优化功率分配、基站波束成形以及STAR-RIS的传输和反射波束成形向量的方法,以最大化总可实现速率并确保每个用户的最低速率要求。仿真结果显示,该方案优于STAR-RIS辅助的OMA系统。 适合人群:具备一定无线通信理论基础、对智能反射面技术和非正交多址接入技术感兴趣的科研人员和工程师。 使用场景及目标:①适用于希望深入了解STAR-RIS与NOMA结合的研究者;②为解决无线通信中频谱资源紧张、提高系统性能提供新的思路和技术手段;③帮助理解PSO算法在无线通信优化问题中的应用。 其他说明:文中提供了详细的Python代码实现,涵盖系统参数设置、信道建模、速率计算、目标函数定义、约束条件设定、主优化函数设计及结果可视化等环节,便于读者理解和复现实验结果。此外,文章还对比了PSO与其他优化算法(如DDPG)的区别,强调了PSO在不需要显式CSI估计方面的优势。
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