代数基础2

最新推荐文章于 2024-10-14 14:12:49 发布

原创最新推荐文章于 2024-10-14 14:12:49 发布 · 336 阅读

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本文详细介绍了行列式的定义及其转置性质，并通过数学公式解释了行列式如何通过元素的不同排列进行计算。此外，还讨论了行列式在行与列交换时的特性变化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

(新学会了几招技能，排版比以前 6 了要嘿嘿嘿）

上集回顾·补充

(1) 行列式的定义

所有可能的不同行不同列的元素之积。以行指标为自然顺序时的通项是：

也可以写成以列为顺序的通项

∑P1P2⋅⋅⋅P3(−1)τ(P1P2⋅⋅⋅P3)aP11aP22⋅⋅⋅aPnn∑P1P2···P3(−1)τ(P1P2···P3)aP11aP22···aPnn $\sum_\mathcal{P_1P_2···P_3} (-1)^{\tau( \mathcal{ P_1 P_2···P_3}) } \mathcal { a_{P_1 1}a_{P_2 2}···a_{P_n n} }$

（2）转置行列式

DTDT $D^T$

把行作为列，次序不动

D' = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 ⋮ a 1 n a 21 a 22 ⋮ a 2 n \dots \dots ⋱ \dots a n 1 a n 2 ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$D \ ' = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

开始·行列式的性质

$1、D=D \ '$
证明：设D为 $a_{ij}$ 的行列式，记

D' = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 ⋮ a 1 n a 21 a 22 ⋮ a 2 n \dots \dots ⋱ \dots a n 1 a n 2 ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ b 11 b 21 ⋮ b n 1 b 12 b 22 ⋮ b n 2 \dots \dots ⋱ \dots b 1 n b 2 n ⋮ b n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ b i j = a j i (i, j = 1, 2, \dots, n)

$D \ ' = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix} \\ \color{blue}{ b_{ij}=a_{ji} } \; (i,j = 1,2, \cdots, n)$
将专置用新符号

bb $b$ 代替后，和原来

DD $\mathcal D$ 的形式一样。用定义写通项公式：

2、交换行列式的某两行，行列式的性质发生改变