6、高斯多尺度树模型：原理、估计与应用

高斯多尺度树模型：原理、估计与应用

1. 模型介绍

在多尺度分析中，观测数据可能存在于不同的分辨率级别。为了区分观测节点和非观测节点，引入虚拟变量 $\gamma_{lj}$，若 $y_{lj}$ 被实际观测到，$\gamma_{lj}$ 取值为 1，否则为 0。

假设给定层级节点的潜在过程在其相邻较粗层级的潜在过程条件下相互独立，且每个节点和层级的观测值在潜在过程条件下相互独立，广义 WMF 模型的联合密度函数可表示为：
[
f(y_0, \ldots, y_{L - 1}, x_0, \ldots, x_{L - 1}|\theta) = f(x_0|\theta)
\left[
\prod_{l = 1}^{L - 1}
\prod_{j = 1}^{n_l}
f(x_{lj}|x_{Alj}, \theta)
\right]
\times
\left[
\prod_{l = 0}^{L - 1}
\prod_{j = 1}^{n_l}
[f(y_{lj}|x_{lj}, \theta)]^{\gamma_{lj}}
\right]
]
其中，$f(x_{lj}|x_{Alj}, \theta)$ 是 $x_{lj}$ 给定其祖先节点的密度函数，$f(y_{lj}|x_{lj}, \theta)$ 是 $y_{lj}$ 给定相应潜在变量 $x_{lj}$ 的密度函数。$\theta$ 是与 WMF 模型相关的参数向量，通常维度较低，例如可能包含总体均值和尺度参数。

更具体地，假设所有密度函数均为高斯分布，上述模型可重写为树状高