29、线性重写时态逻辑（LTLR）模型检查器深度解析

线性重写时态逻辑（LTLR）模型检查器深度解析

1. LTLR简介

线性重写时态逻辑（LTLR）是对线性时态逻辑（LTL）的扩展，它引入了空间动作模式。这些模式用于描述在特定空间约束下的重写步骤事件。LTLR的语法与LTL相似，但LTLR的原子可以是空间动作模式或状态谓词。其语义基于重写逻辑描述的重写理论模型，形成了重写逻辑/LTLR的组合，类似于常见的Kripke/LTL组合。

2. 重写理论

重写理论是并发系统的形式化规范，由三元组 (R = (\Sigma, E, R)) 定义：
- ((\Sigma, E)) 是成员等式逻辑中的基础理论，其中 (\Sigma) 是签名，(E) 是一组条件方程和成员关系。((\Sigma, E)) 的初始代数 (T_{\Sigma/E}) 规定了系统的状态空间。
- (R) 是一组（可能有条件的）重写规则，用于指定系统状态之间的并发转换，写作 (l : q \to r)，其中 (l) 是标签，(q) 和 (r) 是 (\Sigma) - 项。

每个并发状态被建模为基础项的 (E) - 等价类 ([t]_E)，重写操作在 (E) 模下进行。一步重写 ([t]_E \to_R [t’]_E) 存在的条件是，存在 (u \in [t]_E) 可以使用 (R) 中的某个规则重写为 (v \in [t’]_E)。更精确地说，如果使用规则 (l : q \to r) 存在一步重写，那么在 (u \in [t]_E) 的位置 (p) 处有一个子项 (u’) 是 (q) 的实例，且 (u[\varphi(r)]_p \in [t’]_E)。此时，一步重写 ([t]_E \to_R [t’]_E) 有对应的一步证明项 (\lambda = [u[l(\varphi)]_p]_E)，表示为 ([t]_E \xrightarrow{\lambda} [t’]_E)。由于 ([t]_E \to^*_R [t’]_E) 通常是不可判定的，因此需要对重写理论 (R) 考虑额外的可计算性假设。

一个重写理论 (R = (\Sigma, E \cup A, R)) 是可计算的，当且仅当：
1. ((\Sigma, E \cup A)) 在等式公理 (A) 模下是基础终止且合流的。
2. (R) 在 (E) 模 (A) 下是基础相干的。

如果 (R) 是可计算的，每个 ([t] {E \cup A}) 都有一个唯一的 (E) - 规范形式 ([can {E/A}(t)] A \in T {\Sigma/A})，它不能再用 (E) 模 (A) 进行重写。此外，每个重写 ([t] {E \cup A} \xrightarrow{\lambda} [t’] {E \cup A}) 在与 (R) 相关的规范初始模型中有一个等价的转换 ([can_{E/A}(t)] A \xrightarrow{\lambda’} [can {E/A}(t’)]_A)，并带有相应的规范证明项 (\lambda’)。

在 (R) 中的一个计算 ((\pi, \gamma)) 是一条路径 (\pi(0) \xrightarrow{\gamma(0)} \pi(1) \xrightarrow{\gamma(1)} \pi(2) \xrightarrow{\gamma(1)} \cdots)，其中 (\pi(i) = [can_{E/A}(t_i)]_A)，(\gamma(i) = \lambda’_i)，(\pi(i) \xrightarrow{\gamma(i)} \pi(i + 1)) 对于每个 (i \in \mathbb{N})，并且所有的 (t_i) 都属于所选的状态类型 (k)。如果 (R) 是无死锁的，即没有状态不能被 (R) 中的规则进一步重写，那么 (R) 中的任何计算都会无限扩展。

3. LTLR公式的语法和语义

LTLR和LTL的唯一语法区别在于，LTLR公式可能包含一些空间动作模式 (\delta_1, \cdots, \delta_n) 以及状态命题 (p_1, \cdots, p_m)，因此可以描述涉及状态和事件的属性。LTLR公式的语法如下：
(\varphi ::= p \mid \delta \mid \neg \varphi \mid \varphi \land \varphi \mid \bigcirc \varphi \mid \Diamond \varphi \mid \Box \varphi \mid \varphi U \varphi)

空间动作模式描述了 (R) 中一步重写（等价于一步证明项）的属性。例如，用于描述部分信息一步重写的空间动作模式定义如下：
- (l)：涉及 (R) 中标签为 (l) 的规则的一步证明项。
- (l(x_1 \backslash u_1; \cdots ; x_m \backslash u_m))：规则标签为 (l) 的一步证明项，其匹配替换 (\varphi) 满足 ([\varphi(x_i)] {E \cup A} = [u_i] {E \cup A})。
- (t[l(x_1 \backslash u_1; \cdots ; x_m \backslash u_m)] p)：是模式 (l(x_1 \backslash u_1; \cdots ; x_m \backslash u_m)) 的实例的一步证明项，其中相应的重写发生在 ([t] {E \cup A}) 的位置 (p) 处。

为了集成重写逻辑和LTLR，需要一个动作和状态谓词的签名，以及它们的满足定义。一个重写理论 (R = (\Sigma \cup \Sigma’, E \cup A \cup D, R)) 相对于方程 (D) 有一个支持签名 (\Sigma’)，当且仅当：
1. ((\Sigma \cup \Sigma’, E \cup A \cup D)) 保护 ((\Sigma, E \cup A))。
2. (\Sigma’) 包含以下内容：
- 系统状态的类型 (State)。
- 一步证明项的类型 (ProofTerm)，以及证明项中规则标签和替换的相应运算符。
- 分别用于状态命题 (\Pi) 和空间动作模式 (W) 的类型 (Prop) 和 (Action)，以及谓词的相应运算符。
- 类型 (Bool)，带有两个不同的常量 (true) 和 (false)。
- 运算符 (\models : State \times Prop \to Bool) 和 (\models : ProofTerm \times Action \to Bool) 用于定义原子的满足关系。
3. (D) 中的方程通过 (\models) 运算符定义每个状态谓词（或空间动作模式）在每个状态（或一步证明项）上的真值。

在可计算的无死锁重写理论 (R) 上，LTLR公式 (\varphi) 的语义由满足关系 (R, [t] {E \cup A} \models \varphi) 定义。根据定义，(R, [t] {E \cup A} \models \varphi) 成立当且仅当对于从 (R) 中 ([t]_{E \cup A}) 开始的每个无限计算 ((\pi, \gamma))，路径满足关系 (R, (\pi, \gamma) \models \varphi) 成立。LTLR的路径满足关系与LTL非常相似，关键区别在于空间动作模式的语义。具体来说，关系 (R, (\pi, \gamma) \models \delta) 成立当且仅当当前计算的第一个证明项 (\gamma(0)) 满足空间动作模式 (\delta)。

路径满足关系 (R, (\pi, \gamma) \models \varphi) 对于LTLR公式 (\varphi) 归纳定义如下：
- (R, (\pi, \gamma) \models p) 当且仅当 ([\pi(0) \models p] {E \cup A} = [true] {E \cup A})
- (R, (\pi, \gamma) \models \delta) 当且仅当 ([\gamma(0) \models \delta] {E \cup A} = [true] {E \cup A})
- (R, (\pi, \gamma) \models \neg \varphi) 当且仅当 (R, (\pi, \gamma) \not\models \varphi)
- (R, (\pi, \gamma) \models \varphi \land \varphi’) 当且仅当 (R, (\pi, \gamma) \models \varphi) 且 (R, (\pi, \gamma) \models \varphi’)
- (R, (\pi, \gamma) \models \bigcirc \varphi) 当且仅当 (R, (\pi, \gamma)_1 \models \varphi)
- (R, (\pi, \gamma) \models \Diamond \varphi) 当且仅当存在 (k \geq 0)，使得 (R, (\pi, \gamma)_k \models \varphi)
- (R, (\pi, \gamma) \models \Box \varphi) 当且仅当对于所有 (k \geq 0)，(R, (\pi, \gamma)_k \models \varphi)
- (R, (\pi, \gamma) \models \varphi U \varphi’) 当且仅当存在 (k \geq 0) 使得 (R, (\pi, \gamma)_k \models \varphi’)，并且对于所有 (0 \leq i < k)，(R, (\pi, \gamma)_i \models \varphi)

4. 重写理论的带标签Kripke结构

重写理论 (R) 可以关联一个带标签的Kripke结构（LKS）。带标签的Kripke结构是Kripke结构的自然扩展，带有转换标签，定义为一个6 - 元组 ((S, S_0, AP, L, ACT, T))：
- (S) 是状态集合。
- (S_0 \subseteq S) 是初始状态集合。
- (AP) 是原子状态命题集合。
- (L : S \to \mathcal{P}(AP)) 是状态标记函数。
- (ACT) 是原子事件集合。
- (T \subseteq S \times \mathcal{P}(ACT) \times S) 是带标签的转换关系。

每个LKS的转换由一组原子事件 (A) 标记，(A) 可以为空。假设带标签的Kripke结构的转换关系是全的，即每个状态都有下一个状态，不存在死锁。带标签的转换 ((s, A, s’) \in T) 通常表示为 (s \xrightarrow{A} s’)。

LKS的路径 ((\pi, \alpha)) 是一个无限序列 (\langle \pi(0), \alpha(0), \pi(1), \alpha(1), \cdots \rangle)，其中 (\pi(i) \in S)，(\alpha(i) \subseteq ACT)，并且 (\pi(i) \xrightarrow{\alpha(i)} \pi(i + 1)) 对于每个 (i \geq 0)。路径 ((\pi, \alpha)) 的轨迹 ((L(\pi), \alpha)) 是一个无限序列 (\langle L(\pi(0)), \alpha(0), L(\pi(1)), \alpha(1), \cdots \rangle)。

给定一个可计算的重写理论 (R = (\Sigma, E, R))，一个类型为 (State) 的初始状态 ([t] E)，一个有限的原子命题集合 (P \subseteq T {\Sigma/E,Prop})，以及一个有限的空间动作模式集合 (W \subseteq T_{\Sigma/E,Action})，可以将LKS (K_{P,W}(R)[t] E = (S, {[t]_E}, P, L, W \uplus {\star}, T)) 关联到 (R)：
- (S = T {\Sigma/E,[State]})，由类型为 ([State]) 的规范项表示。
- (L(s)) 是 (P) 中在状态 (s) 成立的原子状态命题集合，即 (L([t]_E) = {p \in P : [t \models p]_E = [true]_E})。
- 带标签的转换关系 (T) 指定了相应的转换，由 (R) 中给定的一步重写证明 (\lambda) 满足的 (W) 中的事件标记。此外，(T) 为每个死锁状态有一个自环，以使其成为全关系。即，(\star) 是表示死锁的事件，([t]_E \xrightarrow{A} [t’]_E \in T) 当且仅当 ([t]_E \xrightarrow{\lambda} [t’]_E) 且 (A = {\delta \in W : [\lambda \models \delta]_E = [true]_E})；([t]_E \xrightarrow{{\star}} [t]_E \in T) 当且仅当 ([t]_E) 不能进一步重写。

下面是一个简单的mermaid流程图，展示了从可计算重写理论到带标签Kripke结构的构建过程：

graph LR
    A[可计算重写理论R] --> B[确定初始状态[t]_E]
    B --> C[选择原子命题集合P]
    C --> D[选择空间动作模式集合W]
    D --> E[构建LKS K_P,W(R)[t]_E]

5. LTLR公式的自动机验证

LTLR公式 (\varphi) 在重写理论 (R) 上的模型检查问题现在被简化为 (\varphi) 在其关联的LKS (K_{P,W}(R)[t]_E) 上的可满足性问题。给定一个LKS (M = (S, S_0, AP, L, ACT, T)) 和一个LTLR公式 (\varphi)，需要确定 (M \models \varphi)，即检查 (M) 中从某个 (s \in S_0) 开始的所有路径 ((\pi, \alpha)) 的满足关系 (M, (\pi, \alpha) \models \varphi)。

LTL公式 (\varphi) 在给定Kripke结构 (K = (S, S_0, AP, L, T)) 上的自动机验证使用与否定公式 (\neg \varphi) 关联的Büchi自动机 (B_{\neg \varphi})，并检查同步积 (K \times B_{\neg \varphi}) 的空性，以确定 (B_{\neg \varphi}) 是否接受 (K) 的任何轨迹。

Büchi自动机是一个5 - 元组 ((S_B, S_{B0}, P, T_B, F))：
- (S_B) 是有限状态集合。
- (S_{B0} \subseteq S_B) 是初始状态集合。
- (P) 是转换标签的字母表。
- (T_B \subseteq S_B \times P \times S_B) 是转换关系。
- (F \subseteq S_B) 是接受状态集合。

Kripke结构 (K) 和字母表为 (\mathcal{P}(AP)) 的Büchi自动机 (B) 的同步积是一个Büchi自动机 ((S \times S_B, S_0 \times S_{B0}, \mathcal{P}(AP), T’, S \times F))，其中 ((s, b) \xrightarrow{L(s)} (s’, b’) \in T’) 当且仅当 (s \to s’ \in T) 且 (b \xrightarrow{L(s)} b’ \in T_B)。

对于LTLR模型检查问题，通过类似SE - LTL模型检查的方法进行推广。如果 (AP) 和 (ACT) 是不相交的，那么轨迹 ((L(\pi), \alpha)) 和并轨迹 (L(\pi) \cup \alpha) 之间存在一一对应关系。在这样的并轨迹中，事件和状态命题没有区别。因此，可以使用与LTL情况相同的Büchi自动机构造来检查并轨迹 (L(\pi) \cup \alpha) 是否被公式 (\neg \varphi) 的Büchi自动机接受。

实际上，LKS (M) 的并轨迹诱导出一个等价的Kripke结构 (D(M))，其状态是 (M) 的状态和转换标签的对。给定一个LKS (M = (S, S_0, AP, L, ACT, T)) 且 (AP \cap ACT = \varnothing)，其关联的Kripke结构 (D(M)) 定义为 ((S’, S’_0, AP \cup ACT, L’, T’))：
- (S’ = {\langle s, A \rangle \in S \times \mathcal{P}(ACT) : \exists s’ \in S. s \xrightarrow{A} s’})
- (S’_0 = (S_0 \times \mathcal{P}(ACT)) \cap S’)
- (L’(\langle s, A \rangle) = L(s) \cup A)
- (\langle s, A \rangle \to \langle s’, A’ \rangle \in T’) 当且仅当 (s \xrightarrow{A} s’ \in T) 且 (\langle s’, A’ \rangle \in S’)

可以证明 (M) 和 (D(M)) 在公式可满足性方面是等价的，即 (M \models \varphi) 当且仅当 (D(M) \models \varphi)，其中 (\varphi) 中的任何事件都被视为 (D(M)) 的状态命题。

为了避免使用 (D(M) \times B) 直接导致的状态空间爆炸问题，定义了一个特殊的同步积 (M \otimes B_{\neg \varphi})，它只有在状态标签和事件标签都被 (B_{\neg \varphi}) 的当前转换接受时才前进到下一个状态。给定一个LKS (M = (S, S_0, AP, L, ACT, T)) 和一个Büchi自动机 (B = (S_B, S_{B0}, P, T_B, F)) 且 (P = \mathcal{P}(AP \cup ACT))，状态/事件积是一个Büchi自动机 (M \otimes B = (S \times S_B, S_0 \times S_{B0}, P, T’, S \times F))，其中 ((s, b) \xrightarrow{L(s) \cup A} (s’, b’) \in T’) 当且仅当 (s \xrightarrow{A} s’ \in T) 且 (b \xrightarrow{L(s) \cup A} b’ \in T_B)。

可以证明 (M \otimes B) 的语言空性问题等价于 (D(M) \times B) 的语言空性问题，即 (L(M \otimes B) = \varnothing) 当且仅当 (L(D(M) \times B) = \varnothing)。因此，对于LTLR公式 (\varphi) 和LKS (M)，可以得出 (M \models \varphi) 当且仅当 (L(M \otimes B_{\neg \varphi}) = \varnothing)，其中 (B_{\neg \varphi}) 是按照与LTL情况完全相同的方式构造的 (\neg \varphi) 的Büchi自动机。

下面是一个总结LTLR模型检查步骤的表格：
|步骤|描述|
|----|----|
|1|将重写理论 (R) 关联到带标签的Kripke结构 (K_{P,W}(R)[t] E)|
|2|构造与否定公式 (\neg \varphi) 关联的Büchi自动机 (B {\neg \varphi})|
|3|计算特殊同步积 (M \otimes B_{\neg \varphi})，其中 (M = K_{P,W}(R)[t] E)|
|4|检查 (L(M \otimes B {\neg \varphi})) 是否为空，如果为空，则 (M \models \varphi)|

通过以上步骤，可以有效地进行LTLR公式的模型检查，避免了之前方法中状态空间爆炸的问题。这种方法结合了重写理论、带标签的Kripke结构和Büchi自动机，为并发系统的属性验证提供了一种强大的工具。

6. 实验与应用

为了展示LTLR模型检查器的实用性，使用之前提到的BRP协议进行了实验。通过该实验，可以直观地看到模型检查器在实际应用中的效果。

在实验过程中，首先将BRP协议形式化为重写理论 (R)，确定合适的初始状态 ([t] E)，选择原子命题集合 (P) 和空间动作模式集合 (W)，构建与之关联的带标签Kripke结构 (K {P,W}(R)[t] E)。然后，针对需要验证的LTLR公式 (\varphi)，构造其否定公式 (\neg \varphi) 的Büchi自动机 (B {\neg \varphi})，计算特殊同步积 (M \otimes B_{\neg \varphi})（其中 (M = K_{P,W}(R)[t] E)），最后检查 (L(M \otimes B {\neg \varphi})) 是否为空。

实验结果表明，这种基于LTLR的模型检查方法能够有效地验证并发系统的属性，避免了传统方法中状态空间爆炸的问题，提高了验证的效率和准确性。

以下是一个mermaid流程图，展示了使用LTLR模型检查器进行实验的主要步骤：

graph LR
    A[BRP协议] --> B[形式化为重写理论R]
    B --> C[确定初始状态[t]_E]
    C --> D[选择原子命题集合P]
    D --> E[选择空间动作模式集合W]
    E --> F[构建LKS K_P,W(R)[t]_E]
    F --> G[构造Büchi自动机B_¬φ]
    G --> H[计算特殊同步积M ⊗ B_¬φ]
    H --> I[检查L(M ⊗ B_¬φ)是否为空]

7. 工具支持与语言扩展

该工具支持自动和用户自定义的语言扩展，以表达LTLR属性。这类似于在LTL模型检查中，需要用所需的状态谓词扩展给定Maude规范的语言。

为了在LTLR公式中包含重写理论 (R) 的空间动作模式，需要向用户提供类似于给定重写理论 (R) 的证明项语言。用户可以根据具体需求，自定义空间动作模式和状态谓词，从而更灵活地表达系统的属性。

具体操作步骤如下：
1. 定义支持签名 ：对于重写理论 (R = (\Sigma \cup \Sigma’, E \cup A \cup D, R))，根据前面提到的条件，定义支持签名 (\Sigma’)，包括状态类型 (State)、证明项类型 (ProofTerm)、状态命题类型 (Prop)、空间动作模式类型 (Action) 等。
2. 定义满足关系 ：通过 (D) 中的方程，使用 (\models) 运算符定义每个状态谓词和空间动作模式在相应状态和证明项上的真值。
3. 自定义语言扩展 ：用户可以根据具体需求，在支持签名的基础上，添加自定义的状态谓词和空间动作模式，以表达更复杂的系统属性。

8. 总结与展望

LTLR作为对LTL的扩展，引入了空间动作模式，能够更好地描述并发系统中涉及状态和事件的属性。通过将重写理论与带标签的Kripke结构相结合，并利用Büchi自动机进行验证，有效地解决了传统模型检查方法中状态空间爆炸的问题。

该模型检查器不仅在理论上具有创新性，而且在实际应用中也表现出了良好的性能。通过BRP协议的实验验证，证明了其在并发系统属性验证方面的有效性和实用性。

未来，可以进一步研究如何优化LTLR模型检查的算法，提高验证效率。同时，可以探索将LTLR应用到更多复杂的并发系统中，如分布式系统、网络协议等，为这些系统的安全性和可靠性提供更强大的保障。

以下是一个总结LTLR模型检查核心要点的表格：
|要点|描述|
|----|----|
|LTLR扩展|在LTL基础上引入空间动作模式，描述状态和事件属性|
|重写理论|形式化并发系统，定义状态空间和转换规则|
|带标签Kripke结构|与重写理论关联，用于表示系统状态和转换|
|Büchi自动机|用于验证LTLR公式的可满足性|
|模型检查步骤|关联LKS、构造Büchi自动机、计算同步积、检查语言空性|

通过以上内容，我们对LTLR模型检查器有了全面而深入的了解，它为并发系统的属性验证提供了一种有效的解决方案。在实际应用中，可以根据具体需求，灵活运用这些技术，确保并发系统的正确性和可靠性。