24、量子信息几何与量子估计：测地线、散度及状态估计

量子信息几何与量子估计：测地线、散度及状态估计

1. 平行传输的概念

在量子态空间中，考虑单参数量子态族 ${\rho_{\theta}|\theta \in R}$ 的无穷小位移。$\rho_{\theta + \epsilon}$ 与 $\rho_{\theta}$ 的差异近似为 $\frac{d\rho_{\theta}}{d\theta}(\theta)\epsilon$，所以 $\rho_{\theta + \epsilon}$ 可看作是 $\rho_{\theta}$ 沿 $\frac{d\rho_{\theta}}{d\theta}(\theta)$ 方向移动 $\epsilon$ 得到的状态。

平行传输是将一点的无穷小位移与另一点的无穷小位移匹配的规则。$\frac{d\rho_{\theta}}{d\theta}(\theta)$ 被称为切向量，因为它代表了态族 ${\rho_{\theta}|\theta \in R}$ 在 $\theta$ 处切线的斜率。我们可以考虑切向量的平行传输，而非无穷小位移的平行传输。

常用的平行传输可分为基于 $m$ 表示的（$m$ 平行平移）和基于 $e$ 表示的（$e$ 平行平移）：
- $m$ 平行平移 ：$\Pi^{(m)} {\rho {\theta},\rho_{\theta’}}$ 将一点 $\rho_{\theta}$ 的切向量移动到另一点 $\rho_{\theta’}$ 具有相同 $m$ 表示的切向量。
- $e$ 平行平移 ：$\Pi^{(e)} {x,\rho {\th