3、量子系统的数学表述

量子系统的数学表述

1. 量子系统与线性代数

为了处理量子系统中的信息处理问题，需要对量子系统、测量和状态等基本概念进行数学表述。量子系统由希尔伯特空间 (H) 描述，它是一个具有厄米内积的有限或无限维复向量空间，也被称为表示空间。在本文中，主要考虑有限维情况，维度记为 (d)。

1.1 表示空间

一个给定系统的表示空间由物理观测确定。例如，像电子这样的自旋 - 1/2 粒子，除了其运动自由度外，还具有与“自旋”对应的内部自由度，该自由度的表示空间是 (C^2)。而一个没有内部自由度的单粒子系统的表示空间是从 (R^3) 到 (C) 的所有平方可积函数的集合，这是一个无限维空间，本文不做讨论。

1.2 线性代数基础

在讨论状态和测量之前，先简要总结一些基本的线性代数知识，重点是厄米矩阵。
- 厄米积与范数 ：两个向量 (u = \begin{pmatrix} u_1 \ u_2 \ \vdots \ u_d \end{pmatrix}) 和 (v = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_d \end{pmatrix} \in H) 的厄米积定义为 (\langle u|v \rangle \stackrel{\text{def}}{=} u_1\overline{v_1} + u_2\overline{v_2} + \cdots + u_d\overline{v_d} \in C)，向量的范数定义为 (|u| \stackrel{\text{def}}{=} \sqrt{\langle u|u \rangle})。向量的内积满足施瓦茨不等式 (