hdu 1452 数论—积性函数——因子求和+快速幂

题目链接：https://vjudge.net/problem/HDU-1452

题目大意：求2004^x的所有的因子和然后 mod 29。

积性函数：对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数

2004=4 * 3 *167
S(2004^X) =S(2^(2X)) * S(3^X) * S(167^X)

求（p^X）因子和：
如果 p 是素数 则其因子只有1和它本身，S(p^X) =1+p+p^ 2+…+p^X = (p^(X+1)-1)/(p-1)

所以：S(2004^X) =(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (167^(X+1)-1)/166
又因为：167%29 == 22
故原式可写为 S(2004^X) =(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (22^(X+1)-1)/21

(a*b)/c %M= a%M * b%M * inv( c )
其中inv( c)即满足 (c * inv( c))%M=1的最小整数，即：inv( c)表示c在模p下的乘法逆元
这里M=29 则inv(1)=1，inv(2)=15，inv(22)=18

所以原式可写为：
S(2004^X)= (2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (22^(X+1)-1)/21
=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)*15 * (22^(X+1)-1)18
又因为：15 * 18%29=9；
所以就是求 : (2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1) (22^(X+1)-1)*9%29;

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int pow(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%29;
        a=a*a%29;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int x;
    while(~scanf("%d",&x)&&x)
    {
        int a=pow(2,2*x+1)-1;
        int b=pow(3,x+1)-1;
        int c=pow(22,x+1)-1;
        printf("%d\n",a*b*c*9%29);
    }
}