【HDU 1215】七夕节唯一分解定理素数数论

最新推荐文章于 2025-03-08 11:14:32 发布

追风者_

最新推荐文章于 2025-03-08 11:14:32 发布

阅读量344

点赞数

分类专栏： HDU 数学文章标签：数论素数唯一分解定理 HDU 题解

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_45492531/article/details/105948482

版权

这是一篇关于数论问题的博客，讲述了如何利用唯一分解定理寻找数字的“另一半”。作者在七夕节的背景下提出了一个有趣的数字因子问题，并提供了AC代码来解决这个问题。博客中提到，对于给定的数字N，其另一半是所有小于N且能被N整除的正整数的乘积，再减去N本身。解题思路涉及等比数列求和与积性函数性质。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

七夕节那天,月老来到数字王国,他在城门上贴了一张告示,并且和数字王国的人们说:“你们想知道你们的另一半是谁吗?那就按照告示上的方法去找吧!”
人们纷纷来到告示前,都想知道谁才是自己的另一半.告示如下:

在这里插入图片描述

数字N的因子就是所有比N小又能被N整除的所有正整数,如12的因子有1,2,3,4,6.
你想知道你的另一半吗?

Input
输入数据的第一行是一个数字T(1<=T<=500000),它表明测试数据的组数.然后是T组测试数据,每组测试数据只有一个数字N(1<=N<=500000).

Output
对于每组测试数据,请输出一个代表输入数据N的另一半的编号.

Sample Input
3
2
10
20

Sample Output
1
8
22

题意：计算n以内（不包括n）的所有因子和

思路（唯一分解定理）：

看很多博客讲的是线性筛，我第一眼看觉得是唯一分解定理的板子，而且n不大，就直接用这个了。就直接套公式：
Ans = （q1⁰+q1¹+q1² …q1^a1）（q2⁰+q2¹+q2²…q2^a2）…*（qn⁰+qnⁿ+qn²…qn^an）
其中qi^x代表第i个分解素数的x次方因子，括号里面每一项都是等比数列求和，由积性函数性质可知每项之间的求和后乘积即为最终结果。最后注意Ans-n就好，因为题目要求因子不能等于n

AC代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include <queue>
#include <time.h>
#include <stack>
#include<vector>
#define FAST ios::sync_with_stdio(false)
#define abs(a) ((a)>=0?(a):-(a))
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
#define per(i,n,a) for(int i=n;