基本理论
定义1：因子和函数σ定义为整数n的所有正因子之和，记为
σ
(
n
)
σ(n)
σ(n).
定义2：因子个数函数τ定义为正整数n的所有正因子个数，记为
τ
(
n
)
τ(n)
τ(n).
定理
定理1：如果f是积性函数
F
(
n
)
F(n)
F(n),那么
f
f
f的和函数
F
(
n
)
=
Σ
(
d
∣
n
)
f
(
d
)
F(n)=Σ(d|n) f(d)
F(n)=Σ(d∣n)f(d)也是积性函数
推论：因子和函数
σ
σ
σ与因子个数函数
τ
τ
τ是积性函数(只要令
f
(
n
)
=
n
f(n)=n
f(n)=n 和
f
(
n
)
=
1
f(n)=1
f(n)=1即可)
定理2：设 p p p是一个素数, a a a是一个正整数,那么
σ
(
p
a
)
=
1
+
p
+
p
2
+
p
3
+
.
.
+
p
a
=
(
p
a
+
1
−
1
)
/
(
p
−
1
)
σ(p^a)=1+p+p^2+p^3+..+p^a= (p^{a+1}-1)/(p-1)
σ(pa)=1+p+p2+p3+..+pa=(pa+1−1)/(p−1)(等比数列求和）
l
τ
（
p
a
）
=
a
+
1
τ（p^a）=a+1
τ（pa）=a+1,
(
p
a
的
因
子
为
1
,
p
,
p
2
,
p
3
,
.
.
.
p
a
)
(p^a的因子为 1 ,p,p^2,p^3,...p^a)
(pa的因子为1,p,p2,p3,...pa)
定理3：设正整数n有素因子分解 n = p 1 a 1 ∗ p 2 a 2 ∗ . . . . . p s a s n=p_1^{a1}*p_2^{a2}*.....p_s^{as} n=p1a1∗p2a2∗.....psas（唯一分解定理）
σ
(
n
)
=
(
p
1
a
1
+
1
−
1
)
/
(
p
1
−
1
)
∗
(
p
2
a
2
+
1
−
1
)
/
(
p
2
−
1
)
.
.
.
(
p
s
a
s
+
1
−
1
)
/
(
p
s
−
1
)
=
σ(n)=(p_1^{a_1+1}-1)/(p_1-1)*(p_2^{a_2+1}-1)/(p_2-1)...(p_s{a_s+1}-1)/(p_s-1)=
σ(n)=(p1a1+1−1)/(p1−1)∗(p2a2+1−1)/(p2−1)...(psas+1−1)/(ps−1)=
∏
i
=
1
s
(
p
i
a
i
+
1
−
1
)
/
(
p
i
−
1
)
\prod_{i=1}^{s}\frac{}{}{(p_i^{a_i+1}-1)/(p_i-1)}
∏i=1s(piai+1−1)/(pi−1)（由定理2得）
τ ( n ) = ( a 1 + 1 ) ∗ ( a 2 + 1 ) ∗ . . . ∗ ( a s + 1 ) = ∏ i = 1 s a i + 1 τ(n)=(a_1+1)*(a_2+1)*...*(a_s+1)= \prod_{i=1}^s\frac{}{}{a_i+1} τ(n)=(a1+1)∗(a2+1)∗...∗(as+1)=∏i=1sai+1
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