ACM: Happy 2004-数论专题-因子求和-快速幂-优快云博客

本文详细解析了一道数学题目，要求计算2004的X次方的所有正整数因子之和，并进一步求该和数模29的结果。通过分析得出，此问题可以通过积性函数的性质简化为几个较小部分的计算，最终通过快速幂运算求得答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Happy 2004

Time Limit:1000MS Memory Limit:32768KB 64bit IO Format:%I64d & %I64u

Description

Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29).

Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 2004^1 are 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 and 2004. Therefore S = 4704 and S modulo 29 is equal to 6.

Input

The input consists of several test cases. Each test case contains a line with the integer X (1 <= X <= 10000000).

A test case of X = 0 indicates the end of input, and should not be processed.

Output

For each test case, in a separate line, please output the result of S modulo 29.

Sample Input

1
10000
0

Sample Output

6
10

/*/
    题意：
    求2004^x的所有的因子和然后 mod 29。

    一开始没有头绪，后面百度了下，N的因子和是积性函数，所以就开始用积性函数的方法解题。

    积性函数 ： 当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b);

    如果p是素数[或素数取X模后的数]   s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1)
/*/

/*/ 2004=2*2*3*167 质因子 /*/

/*/ σ(2004^x)=σ(2^2x)*σ(3^x)*σ(167^x) mod 29 积性函数。 /*/

/*/ 167%29 = 22  /*/

/*/ σ(2004^x)=σ(2^2x)*σ(3^x)*σ(22^x) mod 29  /*/

/*/ σ(2^2x)= (2^(2x+1)-1)/(2-1)=(2^(2x+1)-1)/1  /*/

/*/ σ(3^x) = (3^(x+1)-1)/(3-1) =(3^(x+1)-1) /2  /*/

/*/ σ(22^x)=(22^(x+1)-1)/(22-1)=(22^(x+1)-1)/21 /*/

/*/ σ(2004^x)=(2^(2x+1)-1)*(3^(x+1)-1)/2*(22^(x+1)-1)/21 /*/

/*/ 1/2 对于29的逆元x=15   1=2*15 -29*1   /*/

/*/ 1/21对于29的逆元x=18   1=21*18-29*13  /*/

/*/ σ(2004^x)=((2^(2x+1)-1)*(3^(x+1)-1)*15*(22^(x+1)-1)*18)%29 /*/

/*/ 然后开始用快速幂求解。 /*/

/*/ 这个题目的重点在在于这个数学推导过程。 /*/

// AC代码：

#include"cmath"
#include"string"
#include"cstdio"
#include"cstring"
#include"iostream"
#include"algorithm"
using namespace std;
typedef long long LL;

LL mod_pow(LL x,LL y,LL p) {
	LL rt=1;
	LL t=x;
	while(y) {
		if(y&1)rt=(rt*t)%p;
		t=t*t%p;
		y>>=1;
	}
	return rt;
}

int main() {
	LL x,ans;
	while(~scanf("%I64d",&x)) {
		if(x==0)break;
		/*/ σ(2004^x)=((2^(2x+1)-1)*(3^(x+1)-1)*15*(22^(x+1)-1)*18)%29 /*/
		ans=1;
		ans*=(mod_pow(2,2*x+1,29)-1)%29;
		ans*=(mod_pow(3,x+1,29)-1)*15%29;
		ans*=(mod_pow(22,x+1,29)-1)*18%29;
		printf("%I64d\n",ans%29);
	}
	return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/HDMaxfun/p/5727214.html