67、树的逆问题求解：理论与实践

树的逆问题求解：理论与实践

1. 树逆问题的初步探讨

在树图的研究中，我们会遇到一系列的逆问题。首先，有这样一个结果：
[S = \frac{iI_{N - 1}^{\perp}+ A}{iI_{N - 1}^{\perp}- A}\oplus(-1)I_{N - 1}]
这里，(I_{N - 1}^{\perp}) 和 (I_{N - 1}) 分别是 ((N - 1)^{\perp}) 和 (N - 1) 中的单位算子，并且 ((iI_{N - 1}^{\perp}+ H)(iI_{N - 1}^{\perp}- H)^{-1}) 被视为 ((N - 1)^{\perp}) 中的酉算子。

之前的一些结论可能会让人误以为，利用 (S_{\mathbf{v}}(\infty)) 的主 ((N - 1)\times(N - 1)) 块以及 (\mathbf{P}(I - P_{-1})A(I - P_{-1})\mathbf{P}) 的知识就能唯一重构匹配条件。但实际上并非如此，因为 (S_{\mathbf{v}}(\infty)) 的主 ((N - 1)\times(N - 1)) 块只能将 (S_{\mathbf{v}}(\infty)) 重构到酉变换 ((20.25)) 的程度，也就是说，子空间 (N - 1) 是在乘以 (R_{\theta}) 的意义下被确定的。选择不同的可能子空间 (N - 1)，就会得到不同的可能矩阵 (S)。

我们有如下定理进行总结：
定理 20.16 ：设 (\mathbf{T}) 是一个树图，有一个由 (N - 1) 条长度为 (\ell) 的等边边在根顶点 (V^0) 处连接形成的特定等边束。考虑在束上具有零势的薛定谔算子 (L = -\frac{d^2}{dx^2}+q(x))。假设根 (V^0) 处的顶点条件通过 ((3.21)) 由某个酉矩阵 (S) 参数化。如果极限散射矩阵 (S_{\mathbf{v}}(\infty)) 是不可约的，那么响应算子 (\mathbf{R}^T)（(T > 2\ell)）的 ((N - 1)\times(N - 1)) 块能将根顶点处的匹配条件确定到酉变换 (S^{\theta}=R_{\theta}S^0R_{-\theta})（(\theta\in[0,\pi))）的程度。

该定理是在 (S_{\mathbf{v}}(\infty)) 不可约的假设下证明的，但在较弱的假设 (S) 不可约时结论仍然成立，不过相应的证明更复杂。由于在重构度量树时我们已经假设 (S_{\mathbf{v}}(\infty)) 不可约，所以这里省略该证明。

2. 利用 M - 函数进行清理和修剪

之前描述的三个子问题可能会让人觉得树的逆问题已经完全解决了。但实际上，只有度量树被完全恢复，势和顶点条件只是部分确定：
- 势在悬挂边上被恢复；
- 顶点条件仅在束的根顶点处被恢复。

为了完全解决树的逆问题，我们需要明确两个要点：
- 找出当悬挂边上的势被清理（即设为零）时响应算子之间的联系；
- 理解当从原始树中切掉一个束时响应算子是如何修改的。

利用 M - 函数的语言可以很容易地给出这两个问题的解决方案。虽然利用联系 ((19.12)) 可以得到响应算子之间的关系，但这种关系不再直观，用响应算子的语言而不是 M - 函数来写连接这两个问题的公式可能是一项具有挑战性的任务。

2.1 清理边

我们无法写出连接同一树上薛定谔算子和拉普拉斯算子响应算子的显式公式，但根据局部重构量子图的方法，我们对连接具有零势和非零势的两个薛定谔算子在悬挂边上的响应算子或 M - 函数的公式感兴趣。

设 (L_q^{\mathbf{S}}(\mathbf{T})) 是 (\mathbf{T}) 上的任意薛定谔算子。用 (q_0) 表示将 (q) 限制到 (\mathbf{T}) 内边得到的势：
[q_0| {E_n}=\begin{cases}0, & E_n\text{ 是悬挂边};\q| {E_n}, & E_n\text{ 不是悬挂边}.\end{cases}]
我们将这个过程称为从势中清理悬挂边。这种变换将使我们能够使用子问题 III 来恢复根处的顶点条件。

定理 20.17 ：设 (q) 是给定有限紧致度量树 (\mathbf{T}) 上的任意实值 (L^1) 势，接触集为 (\partial\mathbf{T})，(q_0) 是如 ((20.31)) 所述将势限制到 (\mathbf{T}) 内部（如果有的话）的部分。假设悬挂边上的势 (q) 已知，那么 (L_q(\mathbf{T})) 和 (L_{q_0}(\mathbf{T})) 的 M - 函数是一一对应的。

证明 ：我们可以逐个清理悬挂边上的势。选择一条悬挂边，比如 (E_1)。用 (\mathbf{T}_1) 表示由单条边 (E_1) 形成的图，它有两个悬挂顶点 (V^1 = {x_1})（也是 (\mathbf{T}) 中的悬挂顶点）和 (V^2 = {x_2})。用 (\mathbf{T}_2) 表示从 (\mathbf{T}) 中移除 (E_1) 得到的树。(\mathbf{T}_2) 的接触点集由所有一度顶点和原树中边 (E_1) 所连接的顶点 (V^0) 组成。通过将 (\mathbf{T}_1) 中的顶点 (V^2) 和 (\mathbf{T}_2) 中的顶点 (V^0) 进行标识，可以将 (\mathbf{T}_1) 和 (\mathbf{T}_2) 粘合在一起得到原树 (\mathbf{T})。

用 (q_1) 表示将势 (q) 限制到 (\mathbf{T} 1\subset\mathbf{T}) 的部分。如果进行以下标识：
[\begin{cases}\mathbf{M} {\Gamma}=\mathbf{M} {L_q(\mathbf{T})}\text{ 或 }\mathbf{M} {L_{q_1}(\mathbf{T})};\\mathbf{M} {\Gamma_1}=\mathbf{M} {L_q(\mathbf{T} 1)}\text{ 或 }\mathbf{M} {L_0(\mathbf{T} 1)};\\mathbf{M} {\Gamma_2}=\mathbf{M} {L_q(\mathbf{T}_2)}.\end{cases}]
公式 ((18.34)) 可以连接图 (\mathbf{T})、(\mathbf{T}_1) 和 (\mathbf{T}_2) 对于 (q) 和 (q_1) 的 M - 函数。由于粘合集仅由一个顶点组成，根据定理 18.21，三个 M - 函数中的任意两个可以确定第三个。(L_q(\mathbf{T})) 的响应算子和 (E_1) 上的势确定了 (\mathbf{M} {L_q(\mathbf{T})}) 和 (\mathbf{M} {L_q(\mathbf{T}_1)})，所以定理 18.21 意味着 (\mathbf{M} {L_q(\mathbf{T} 2)}) 是唯一确定的。知道 (\mathbf{M} {L_q(\mathbf{T} 2)}) 和 (\mathbf{M} {L_0(\mathbf{T} 1)})（对应于 (E_1) 上的零势，由 ((5.55)) 给出），我们可以再次使用公式 ((18.34)) 得到 (\mathbf{M} {L_{q_1}(\mathbf{T})})。

重复这个过程，清理所有悬挂边上的势，我们可以得出 (L_{q_0}(\mathbf{T})) 的响应算子由 (L_q(\mathbf{T})) 的响应算子唯一确定。

推论 20.18 ：如果不假设 (\mathbf{T}) 和悬挂边上的势已知，那么 (\mathbf{M} {L_q(\mathbf{T})}) 可以确定 (\mathbf{M} {L_{q_0}(\mathbf{T})})，但反之不成立。

2.2 修剪分支和束

现在假设 (\mathbf{T}) 中的一个束被识别出来，束中悬挂边上的势被确定，并且使用子问题 III 恢复了束根处的顶点条件。可以说我们假设对于某个束，其所有特征都已知：几何结构（边的数量和长度）、束上的势以及根处的顶点条件（到第 20.4 节讨论的相位参数）。那么 (\mathbf{T}) 的 M - 函数可以确定从 (\mathbf{T}) 中切掉该束得到的树 (\mathbf{T}_2) 的 M - 函数。

我们将这个过程称为修剪树，因为它类似于园丁每年秋天从果树上去除枯死和不需要的树枝。如果不是一个束，而是整个分支已知，我们的方法同样有效。这里的分支是指度量树的一个子树，它在一个称为分支根的单个顶点处与树的其余部分相连，分支中除根外的所有一度顶点都属于原树的接触集。

定理 20.19 ：设 (L_q(\mathbf{T})) 是有限紧致度量树 (\mathbf{T}) 上的薛定谔算子，接触集 (\partial\mathbf{T}) 由所有一度顶点组成。假设 (\mathbf{T}) 中的一个分支，比如子树 (\mathbf{T}_1)，连同其上的势和所有顶点（包括根）处的顶点条件都已知。用 (\mathbf{T}_2) 表示从 (\mathbf{T}) 中切掉所选分支 (\mathbf{T}_1) 得到的树。那么 (L_q(\mathbf{T})) 和 (L_q(\mathbf{T}_2)) 的 M - 函数是一一对应的。

证明 ：证明与定理 20.17 的证明思路相同。原因很简单，原树 (\mathbf{T}) 仍然是通过在单个顶点处将 (\mathbf{T}_1) 和 (\mathbf{T}_2) 粘合在一起得到的。唯一的区别是图 (\mathbf{T}_1) 稍微复杂一些，它是一个子树，但公式 ((18.34)) 仍然有效，并且可以使用定理 18.21。

推论 20.20 ：假设已知度量树上薛定谔算子的响应算子。设 (\mathbf{T}_1) 是 (\mathbf{T}) 中的任意束。那么 (\mathbf{T}) 的响应算子可以确定从 (\mathbf{T}) 中切掉 (\mathbf{T}_1) 得到的修剪树 (\mathbf{T}_2) 的响应算子。

下面是清理和修剪过程的 mermaid 流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([开始]):::startend --> B(选择悬挂边):::process
    B --> C(清理悬挂边势):::process
    C --> D{是否还有悬挂边}:::process
    D -- 是 --> B
    D -- 否 --> E(识别束或分支):::process
    E --> F(修剪束或分支):::process
    F --> G([结束]):::startend

3. 树逆问题的完整解决方案

在这部分，我们详细描述如何通过结合子问题 I - III 以及清理和修剪过程来解决有限紧致度量树上的逆问题。

设 (L_q^{\mathbf{S}}(\mathbf{T})) 是有限紧致度量树 (\mathbf{T}) 上的薛定谔算子，内部顶点的顶点条件由某个不可约酉矩阵 (S^m) 确定，接触集 (\partial\mathbf{T}) 由所有一度顶点组成的标准条件。假设与 (\partial\mathbf{T}) 相关联的响应算子 (\mathbf{R}^T)（(T) 略大于树的直径）已知。

假设选择了 (\mathbf{T}) 中的某个束。用 (\mathbf{T}’) 表示从原树 (\mathbf{T}) 中移除所选束得到的度量树。切割束的过程本质上是根据原响应算子计算与新树 (\mathbf{T}’) 相关联的响应算子。为了进行这种简化，我们将使用连接响应算子和 M - 函数的公式 ((19.12))。

具体步骤如下：
1. 选择树中的束 ：如第 20.2 节所述，我们可以要么重构整个树 (\mathbf{T})，要么直接使用响应算子的一个块选择一个束（子问题 I）。
2. 重构束上的势 ：束中的每条边都是悬挂边，其上的势可以从响应算子的对角元素中恢复，如第 20.3 节所述（子问题 II）。
3. 清理束 - 移除势 ：设 (q_0) 是将原势 (q) 限制到 (\mathbf{T}’) 得到的势。知道 (q) 的响应算子后，可以计算 (q_0) 的响应算子（见第 20.5.1 节）。
4. 修剪束 ：这一步在第 20.4.1 节中描述，它使我们能够确定所选束现在为等边时 (\mathbf{T}) 的响应算子。
5. 恢复根处的顶点条件 ：知道与等边束相关联的响应算子块后，我们可以如第 20.4.2 节所述重构根处的顶点条件（子问题 III）。重构包含一个无法避免的自由相位参数（见观察 20.2）。
6. 切掉束 - 修剪树 ：知道根处的顶点条件和与 (\mathbf{T}) 相关联的响应算子后，可以恢复在新悬挂顶点 (V^0) 处具有标准条件的 (\mathbf{T}’) 的响应算子（见第 20.5.2 节）。

重复这个过程足够多次，我们不仅可以恢复整个度量树 (\mathbf{T})，还可以恢复整个树上的势 (q) 和内部顶点处的顶点条件。顶点条件可以恢复到 (M - M_{\partial}- 1 = N - M_{\partial}) 个相位的程度。

以下是解决树逆问题步骤的表格总结：
|步骤|操作内容|关联子问题|
| ---- | ---- | ---- |
|1|选择树中的束|子问题 I|
|2|重构束上的势|子问题 II|
|3|清理束 - 移除势| - |
|4|修剪束| - |
|5|恢复根处的顶点条件|子问题 III|
|6|切掉束 - 修剪树| - |

通过上述一系列的操作和理论支持，我们可以逐步解决树的逆问题，从局部的边和束的处理，到整体树结构、势和顶点条件的恢复，为相关领域的研究和应用提供了有效的方法和思路。

4. 树逆问题求解步骤的深入分析

4.1 选择树中的束

选择树中的束是解决树逆问题的起始步骤。在这一步中，我们有两种途径来进行操作。
- 重构整个树 ：这种方法需要对整个树的结构进行全面的分析和推导，通过一定的算法和理论依据，逐步构建出树的完整形态。
- 直接使用响应算子的一个块 ：利用响应算子的特定块所包含的信息，直接定位和选择出树中的束。这种方式更加高效和针对性强，能够快速地确定我们所需的束结构。

这两种方法各有优劣，在实际应用中，需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的方法。例如，如果我们对树的整体结构有一定的先验知识，或者数据量较小且易于处理，重构整个树可能是一个不错的选择；而如果数据量较大，且我们只关注树中的特定束结构，直接使用响应算子的块则更为合适。

4.2 重构束上的势

束上的势的重构是基于束中每条边都是悬挂边这一特性。由于悬挂边的特殊性，其上的势可以从响应算子的对角元素中恢复。具体操作是，通过对响应算子的对角元素进行分析和计算，利用一定的数学模型和算法，将势的信息从对角元素中提取出来。这种方法利用了悬挂边和响应算子之间的内在联系，为势的重构提供了一种有效的途径。

4.3 清理束 - 移除势

清理束的过程实际上是将原势 (q) 限制到 (\mathbf{T}’) 得到新势 (q_0) 的过程。在这个过程中，我们需要知道 (q) 的响应算子，然后通过一系列的计算和推导，得到 (q_0) 的响应算子。这个过程的核心在于理解势的限制和响应算子之间的关系，通过合理的数学变换和推导，实现从 (q) 到 (q_0) 的过渡。

4.4 修剪束

修剪束的步骤使得我们能够确定所选束为等边时 (\mathbf{T}) 的响应算子。在这个过程中，我们需要对束的结构进行调整和优化，使其达到等边的状态。然后，通过对调整后的束结构和树的整体结构进行分析，利用相关的理论和公式，计算出此时 (\mathbf{T}) 的响应算子。这个步骤需要对树的结构和响应算子的计算有深入的理解和掌握。

4.5 恢复根处的顶点条件

恢复根处的顶点条件是子问题 III 的核心内容。在这一步中，我们需要利用与等边束相关联的响应算子块的信息。通过对这些信息的分析和处理，结合一定的数学模型和算法，重构出根处的顶点条件。需要注意的是，重构过程中包含一个无法避免的自由相位参数，这是由于问题本身的特性所导致的。在实际应用中，我们需要对这个自由相位参数进行合理的处理和分析，以得到准确的顶点条件。

4.6 切掉束 - 修剪树

切掉束并修剪树的过程是在知道根处的顶点条件和与 (\mathbf{T}) 相关联的响应算子的基础上进行的。通过对这些信息的综合利用，我们可以恢复在新悬挂顶点 (V^0) 处具有标准条件的 (\mathbf{T}’) 的响应算子。这个过程需要对树的结构变化和响应算子的调整有清晰的认识，通过合理的计算和推导，实现树的修剪和响应算子的更新。

5. 树逆问题求解的实际应用和意义

树逆问题的求解在多个领域都有着重要的实际应用和意义。

5.1 物理领域

在量子物理中，树结构常常被用来描述量子系统的相互作用和传播。通过解决树的逆问题，我们可以更深入地了解量子系统的内部结构和特性，例如量子态的分布、量子跃迁的概率等。这对于量子计算、量子通信等领域的研究和发展具有重要的推动作用。

5.2 生物领域

在生物网络的研究中，树结构可以用来表示生物分子的相互作用网络、生物进化树等。求解树的逆问题可以帮助我们揭示生物系统的内在机制和演化规律，例如基因调控网络的结构和功能、物种进化的历程等。这对于生物医学研究、药物研发等领域具有重要的指导意义。

5.3 工程领域

在通信网络、电力网络等工程领域，树结构可以用来描述网络的拓扑结构。通过解决树的逆问题，我们可以优化网络的设计和布局，提高网络的性能和可靠性。例如，在通信网络中，合理的树结构设计可以提高信号的传输效率和稳定性；在电力网络中，优化的树结构可以降低能源损耗和故障发生率。

6. 总结与展望

通过结合子问题 I - III 以及清理和修剪过程，我们可以逐步解决有限紧致度量树上的逆问题。从最初的束的选择，到势的重构、顶点条件的恢复，再到树的修剪和整体结构的确定，每一个步骤都相互关联，共同构成了解决树逆问题的完整体系。

然而，目前的研究仍然存在一些不足之处。例如，在恢复顶点条件时存在的自由相位参数问题，还需要进一步的研究和探索，以找到更有效的处理方法。同时，对于更复杂的树结构和更一般的势函数，现有的方法可能需要进一步的扩展和优化。

未来的研究方向可以集中在以下几个方面：
- 改进算法效率 ：通过优化现有的算法和引入新的计算方法，提高树逆问题求解的效率，特别是在处理大规模数据和复杂树结构时。
- 拓展应用领域 ：将树逆问题的求解方法应用到更多的领域，如社会网络分析、金融市场建模等，探索其在不同领域的应用潜力。
- 深入理论研究 ：进一步深入研究树逆问题的理论基础，解决目前存在的一些理论难题，如自由相位参数的处理、更一般情况下的唯一性问题等。

总之，树逆问题的求解是一个具有重要理论和实际意义的研究领域，随着研究的不断深入和发展，相信它将为更多的领域带来新的突破和进展。

以下是解决树逆问题步骤的另一种流程图表示，更详细地展示了各步骤之间的关系：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([开始]):::startend --> B(选择树中的束):::process
    B --> C(重构束上的势):::process
    C --> D(清理束 - 移除势):::process
    D --> E(修剪束):::process
    E --> F(恢复根处的顶点条件):::process
    F --> G(切掉束 - 修剪树):::process
    G --> H{是否还有束}:::process
    H -- 是 --> B
    H -- 否 --> I([结束]):::startend

通过以上的分析和总结，我们对树逆问题的求解有了更全面和深入的理解，为进一步的研究和应用提供了坚实的基础。