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MBC 方法：单环图与相关子树的逆问题求解
在许多科学和工程领域中，图的逆问题求解是一个重要的研究方向。本文将深入探讨单环图以及套索图的逆问题，介绍如何通过特定的 M 函数和符号序列来确定图的边长和势函数。
1. 单环图逆问题基础
1.1 从 M 函数重建转移矩阵元素
已知单环的 M 函数 $M^{loop}(\lambda, \Phi)$ 在 $\Phi = 0$ 和 $\Phi = \pi$ 时的值，我们可以重建边 M 函数的迹和非对角元素。具体公式如下：
- 非对角元素：
- $M_{12}(\lambda) = M_{21}(\lambda) = \frac{1}{4}(M^{loop}(\lambda, 0) - M^{loop}(\lambda, \pi))$
- 边 M 函数的迹：
- $Tr M^{edge}(\lambda) = M_{11}(\lambda) + M_{22}(\lambda) = \frac{1}{2}(M^{loop}(\lambda, 0) + M^{loop}(\lambda, \pi))$
从这些公式可以看出，考虑除 0 和 $\pi$ 之外的磁通量 $\Phi$ 值，并不能帮助我们确定边 M 函数的更多元素。通过重建转移矩阵，我们只能确定元素 $t_{12}(k)$ 和 Lyapunov 函数 $u_+(k)$：
- $t_{12}(k) = \frac{1}{M_{12}(\lambda)} = \frac{4}{M^{loop}(\lambda, 0) - M^{loop}(\lambda, \pi)}$
- $u_+(k) = \frac{1}{2}(t_{11}(k) + t_{22}(k)) = \frac{M^{loop}(\lambda, 0) + M^{loop}(\lambda, \pi)}{M^{loop}(\lambda, 0) - M^{loop}(\lambda, \pi)}$
然而，仅知道 $t_{12}(k)$ 和 $u_+(k)$ 通常不足以重建势函数。所有可能的势函数可以通过特定的无限符号序列来参数化。
1.2 单环上势函数的重建
单环的逆问题最初在相关研究中被讨论，本文的方法更为直接和透明。公式将单环逆问题的求解转化为从元素 $t_{12}(k)$ 和 Lyapunov 函数 $u_+(k)$ 重建整个转移矩阵 $T_q(k)$ 的问题。这个问题已经由 V.A. Marchenko 和 I.V. Ostrovskii 解决，他们表明所有导致周期性薛定谔（Hill）算子具有规定能带谱的周期性势函数族，可以由狄利克雷 - 狄利克雷算子在一个周期内的谱和与每个狄利克雷 - 狄利克雷特征值相关的符号序列 $\nu_j = \pm1$ 唯一参数化。
1.2.1 确定边的长度
考虑 $t_{12}(k)$ 的零点 $k_j^D$，这些零点确定了边的狄利克雷谱 $\lambda_j^D = (k_j^D)^2$。由于零点满足 Weyl 渐近性，我们可以确定边的长度 $\ell_1$：
- $\lambda_j^D \sim (\frac{\pi}{\ell_1})^2 j^2 \Rightarrow k_j^D \sim \frac{\pi}{\ell_1} j \Rightarrow \ell_1 = \lim_{j \to \infty} \frac{\pi j}{k_j^D}$
1.2.2 求解转移矩阵元素
转移矩阵的行列式为 1，即 $\det T_q(k) = 1$，由此我们可以得到关于 $t_{11}(k_j^D)$ 和 $t_{22}(k_j^D)$ 的方程组：
- $\begin{cases}t_{11}(k_j^D)t_{22}(k_j^D) = 1 \ t_{11}(k_j^D) + t_{22}(k_j^D) = 2u_+(k_j^D)\end{cases}$
这个方程组可以转化为二次方程 $t^2 - 2u_+(k_j^D)t + 1 = 0$，它有两个可能的解：
- $\begin{cases}t_{11}(k_j^D) = u_+(k_j^D) + \nu_j \sqrt{(u_+(k_j^D))^2 - 1} \ t_{22}(k_j^D) = u_+(k_j^D) - \nu_j \sqrt{(u_+(k_j^D))^2 - 1}\end{cases}$，其中 $\nu_j = \pm1$
这表明 $t_{11}(k_j^D)$ 和 $t_{22}(k_j^D)$ 的值由符号序列 $\nu_j$ 确定。
1.3 确定转移矩阵函数
我们可以证明这些值可以确定函数 $t_{11}(k)$ 和 $t_{22}(k)$。假设找到了两个满足特定条件的指数型函数 $t_{11}(k)$ 和 $\tilde{t} {11}(k)$，它们的差 $\Delta t {11}(k) = \tilde{t} {11}(k) - t {11}(k)$ 是一个指数型函数，且在 $k_j^D$ 处为零。通过分析可知，这样的差函数与 $t_{12}(k)$ 的商是一个常数函数。
因此，如果 $\hat{t}
{11}(k)$ 是一个在 $k_j^D$ 处具有规定值的可能函数，那么其他解可以表示为：
- $t
{11}(k) = \hat{t}
{11}(k) + \alpha t
{12}(k)$，其中 $\alpha \in \mathbb{R}$
由于 Lyapunov 函数 $u_+(k)$ 已知，$t_{22}(k)$ 的一般解为：
- $t_{22}(k) = \hat{t}
{22}(k) - \alpha t
{12}(k)$
函数 $u_-(k)$ 可以表示为：
- $u_-(k) = \frac{1}{2}(\hat{t}
{11}(k) - \hat{t}
{22}(k)) + \alpha t_{12}(k)$
对于实数 $k$，$t_{12}(k)$ 具有渐近形式 $t_{12}(k) = \frac{1}{k} \sin \ell_1 k + O(k^{-2})$，因此 $k t_{12}(k) = \sin \ell_1 k + O(k^{-1})$ 不属于 $L^2(\mathbb{R})$。存在唯一的 $\alpha$ 使得 $u_-(k)$ 是平方可积的，从而满足特定条件。
1.4 确定转移矩阵其他元素及势函数
综上所述，转移矩阵的元素 $t_{11}(k)$ 和 $t_{22}(k)$ 由 $t_{12}(k)$、$u_+(k)$ 和符号序列 $\nu_j$ 唯一确定。我们可以利用转移矩阵的行列式为 1 来恢复元素 $t_{21}(k)$：
- $t_{21}(k) = \frac{t_{11}(k)t_{22}(k) - 1}{t_{12}(k)}$
以下是一个总结单环图逆问题求解步骤的表格：
|步骤|操作内容|
|----|----|
|1|根据 $M^{loop}(\lambda, 0)$ 和 $M^{loop}(\lambda, \pi)$ 计算 $M_{12}(\lambda)$ 和 $Tr M^{edge}(\lambda)$|
|2|计算 $t_{12}(k)$ 和 $u_+(k)$|
|3|通过 $t_{12}(k)$ 的零点 $k_j^D$ 确定边的长度 $\ell_1$|
|4|求解关于 $t_{11}(k_j^D)$ 和 $t_{22}(k_j^D)$ 的方程组|
|5|确定 $t_{11}(k)$ 和 $t_{22}(k)$ 的表达式|
|6|找到唯一的 $\alpha$ 使得 $u_-(k)$ 平方可积|
|7|计算 $t_{21}(k)$|
1.5 单环图逆问题定理
以下定理总结了单环图逆问题的结论：
定理 23.1
：考虑环图 $\Gamma_{1.2} = \Gamma_{\ell_1}^{loop}$，假设唯一顶点 $V^1$ 是接触顶点。设 $L_{q,a}^{st}(\Gamma_{\ell_1}^{loop})$ 是由固定的（电）势 $q \in C(\Gamma_{1.2})$ 和变化的磁势 $a \in C(\Gamma_{1.2})$ 确定的标准薛定谔算子，$M^{loop}(\lambda, \Phi)$ 是相应的（标量）M 函数，依赖于谱参数 $\lambda$ 和磁通量 $\Phi = \int_{x_1}^{x_2} a(x)dx$。那么，由以下谱数据：
- $M^{loop}(\lambda, \Phi)$ 在 $\Phi = 0, \pi$ 时的值
- 与环上每个狄利克雷特征值相关的符号序列 $\nu_j$
可以确定边的长度和其上的势 $q$。
1.6 势函数重建的其他方法及特殊情况
从 M 函数或转移矩阵重建边上的势函数，也可以使用 Levitan - Gasymov 或 Marchenko - Ostrovsky 的经典结果。特别是，可以直接利用狄利克雷 - 狄利克雷和狄利克雷 - 诺伊曼谱（即 $t_{12}(k)$ 和 $t_{22}(k)$ 的零点）来确定势函数。
当势函数恒为零时，不需要提供符号序列来恢复它，这与 Ambartsumian 定理相关。
1.7 狄利克雷特征值与磁通量的关系
$t_{22}(k_j^D)$ 的值可以解释为可能的非实磁通量，对于这些磁通量，狄利克雷特征函数 $\psi_n^D$ 从环 M 函数中不可见。具体来说，当 $e^{i\Phi^ } = t_{22}(k_j^D)$ 时，特征函数在 $\Phi = \Phi^ $ 时不可见。根据 $|t_{22}(k_j^D)|$ 是否大于或等于 1，相应的 $\Phi^*$ 位于下半平面或上半平面。因此，符号序列 $\nu_j$ 可以作为确定不可见特征函数的磁通量所在半平面的指示器。
以下是单环图逆问题求解的流程图：
graph TD;
A[已知M函数在Φ=0和Φ=π的值] --> B[计算M12和Tr Medge];
B --> C[计算t12和u+];
C --> D[确定边的长度ℓ1];
D --> E[求解t11和t22在kjD的值];
E --> F[确定t11和t22的函数表达式];
F --> G[找到唯一的α使u-平方可积];
G --> H[计算t21];
H --> I[确定势函数q];
2. 套索图逆问题
2.1 套索图逆问题概述
套索图是一种具有一个环和一个分支的图。研究套索图的逆问题可以帮助我们更深入地理解图的逆问题求解方法，并进一步发展相关的直觉。
考虑套索图 $\Gamma_{2.2} = \Gamma_{\ell_1, \ell_2}^{lasso}$，其中 $\ell_1$ 是环的长度，$\ell_2$ 是分支的长度，接触集由度为 1 的顶点 $V^2$ 组成。套索图的逆问题可以通过将其转化为单环图的逆问题来解决，因为分支及其上的势函数可以使用树的 BC 方法来恢复。
2.2 套索图 M 函数与磁势的关系
套索图的 M 函数 $M = M(\lambda, \Phi)$ 依赖于磁势通过环的磁通量 $\Phi = \int_{x_1}^{x_2} a(y)dy$，但与分支上的磁势无关。
2.3 套索图逆问题定理
定理 23.2
：考虑任意紧凑的套索图 $\Gamma_{2.2} = \Gamma_{\ell_1, \ell_2}^{lasso}$，接触顶点为 $V^2$。设 $L_{q,a}^{st}(\Gamma_{\ell_1, \ell_2}^{lasso})$ 是由固定的（电）势 $q \in C(\Gamma_{2.2})$ 和变化的磁势 $a \in C(\Gamma_{2.2})$ 确定的标准薛定谔算子，$M_{\Gamma_{\ell_1, \ell_2}^{lasso}}(\lambda, \Phi)$ 是相应的 M 函数，依赖于谱参数 $\lambda$ 和通过环的磁通量 $\Phi$。那么，由以下谱数据：
- $M_{\Gamma_{\ell_1, \ell_2}^{lasso}}(\lambda, \Phi)$ 在 $\Phi = 0, \pi$ 时的值
- 与环上每个狄利克雷特征函数相关的符号序列 $\nu_j$
可以唯一确定套索图及其上的势 $q$。
2.4 套索图逆问题求解思路
在解决套索图的逆问题时，我们使用两个互补的思路：
1.
短时间边界控制问题
：考虑短时间 $T < \ell_2 + \ell_1/2$ 的边界控制问题。在顶点 $V^2$ 处由边界控制引发的波不会到达环边 $[x_1, x_2]$ 的中心点，因此该问题等价于将套索图的第一条边在中点处切割后得到的三星图的问题。我们可以使用之前在树的研究中开发的方法，从 M 函数确定分支边的长度和其上的势函数。
2.
M 函数关系
：套索图、环图和分支边的三个 M 函数之间存在直接关系，这使得我们可以在已知其中两个 M 函数的情况下恢复另一个。因此，我们可以将逆问题转化为单环图的逆问题。
2.5 分支边的重建
对于 $T < \ell_2 + \ell_1/2$ 的响应算子与三星图的响应算子相同。该响应算子的核包含延迟了 $2\ell_2$ 的 $\delta’$ 奇点，因此可以恢复分支边的长度 $\ell_2$。对于 $T < \ell_2$ 的响应算子也可用于相关分析。
以下是套索图逆问题求解步骤的表格：
|步骤|操作内容|
|----|----|
|1|考虑短时间边界控制问题，将其转化为三星图问题|
|2|根据响应算子的核确定分支边长度 $\ell_2$|
|3|利用 M 函数关系将逆问题转化为单环图逆问题|
|4|使用单环图逆问题求解方法确定环的边长和势函数|
以下是套索图逆问题求解的流程图：
graph TD;
A[已知套索图M函数在Φ=0和Φ=π的值] --> B[考虑短时间边界控制问题];
B --> C[确定分支边长度ℓ2];
C --> D[利用M函数关系转化为单环图问题];
D --> E[使用单环图求解方法确定环的边长和势函数];
通过以上方法，我们可以有效地解决单环图和套索图的逆问题，为相关领域的研究和应用提供了重要的理论基础和方法支持。
3. 两种图逆问题求解方法的对比与总结
3.1 求解方法的相似性
单环图和套索图的逆问题求解在很多方面具有相似性，下面通过表格进行对比：
|对比项|单环图|套索图|
|----|----|----|
|核心数据依赖|已知 $M^{loop}(\lambda, \Phi)$ 在 $\Phi = 0, \pi$ 时的值以及符号序列 $\nu_j$|已知 $M_{\Gamma_{\ell_1, \ell_2}^{lasso}}(\lambda, \Phi)$ 在 $\Phi = 0, \pi$ 时的值以及符号序列 $\nu_j$|
|关键步骤|从已知数据计算相关矩阵元素，确定边长和势函数|通过特定方法将问题转化后，同样计算相关元素确定边长和势函数|
|理论基础|都基于薛定谔算子和 M 函数相关理论|都基于薛定谔算子和 M 函数相关理论|
3.2 求解方法的差异性
虽然两种图的逆问题求解有相似之处，但也存在明显的差异：
-
图结构影响
：单环图结构相对简单，直接围绕环进行分析；而套索图由于有分支边，需要先处理分支边的问题，再将问题转化为单环图问题。
-
求解思路侧重点
：单环图主要通过转移矩阵的相关计算来确定势函数；套索图则结合了短时间边界控制问题和 M 函数关系两种思路。
3.3 整体求解流程总结
无论是单环图还是套索图，逆问题求解的整体流程都可以概括为以下几个关键步骤：
1.
数据获取
：获取特定磁通量下的 M 函数值以及符号序列。
2.
初步计算
：根据已知数据计算一些关键的矩阵元素，如 $t_{12}(k)$ 和 $u_+(k)$ 等。
3.
边长确定
：利用相关函数的零点和渐近性确定图的边长。
4.
矩阵元素求解
：通过方程组和特定条件求解转移矩阵的各个元素。
5.
势函数确定
：最终根据转移矩阵确定图上的势函数。
以下是两种图逆问题求解整体流程的对比表格：
|步骤|单环图|套索图|
|----|----|----|
|数据获取|获取 $M^{loop}(\lambda, \Phi)$ 在 $\Phi = 0, \pi$ 时的值和 $\nu_j$|获取 $M_{\Gamma_{\ell_1, \ell_2}^{lasso}}(\lambda, \Phi)$ 在 $\Phi = 0, \pi$ 时的值和 $\nu_j$|
|初步计算|计算 $M_{12}$、$Tr M^{edge}$、$t_{12}$ 和 $u_+$|计算相关 M 函数值|
|边长确定|通过 $t_{12}(k)$ 的零点确定边的长度 $\ell_1$|通过短时间响应算子确定分支边长度 $\ell_2$，再结合其他方法确定环的边长|
|矩阵元素求解|求解 $t_{11}(k)$、$t_{22}(k)$ 和 $t_{21}(k)$|将问题转化为单环图问题后求解相关矩阵元素|
|势函数确定|根据转移矩阵确定势函数 $q$|根据转移矩阵确定势函数 $q$|
3.4 方法的应用与拓展
这些逆问题求解方法在许多领域都有重要的应用，例如量子物理、电路设计等。在量子物理中，可以通过这些方法确定量子系统中的势函数，从而更好地理解系统的性质；在电路设计中，可以用于分析和优化电路的结构和性能。
未来，我们可以进一步拓展这些方法，例如考虑更复杂的图结构，或者结合其他物理模型进行研究。同时，也可以探索如何提高求解方法的效率和精度，以满足实际应用的需求。
以下是两种图逆问题求解方法应用与拓展的思维导图：
graph LR;
A[逆问题求解方法] --> B[应用领域];
B --> C[量子物理];
B --> D[电路设计];
A --> E[拓展方向];
E --> F[考虑更复杂图结构];
E --> G[结合其他物理模型];
E --> H[提高求解效率和精度];
4. 结论
本文详细探讨了单环图和套索图的逆问题求解方法。通过对 M 函数和符号序列的利用，我们可以确定图的边长和势函数。在单环图的求解中，我们通过一系列的计算和分析，从已知的 M 函数值逐步推导出转移矩阵的各个元素，最终确定势函数。对于套索图，我们利用短时间边界控制问题和 M 函数之间的关系，将问题转化为单环图问题进行求解。
两种图的逆问题求解方法既有相似之处，又有各自的特点。这些方法为相关领域的研究和应用提供了重要的理论支持和实践指导。在未来的研究中，我们可以进一步拓展这些方法，使其适用于更复杂的图结构和物理模型，为科学和工程领域的发展做出更大的贡献。
总之，图的逆问题求解是一个充满挑战和机遇的研究方向，通过不断地探索和创新，我们有望在这个领域取得更多的成果。
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