44、量子图顶点拼接与Ambartsumian定理解析

量子图顶点拼接与Ambartsumian定理解析

1. 一般顶点条件下的顶点拼接

在量子图研究中，顶点拼接是一个重要的问题。考虑量子图中选定的两个顶点 (V^1) 和 (V^2)，其度数分别为 (d_1) 和 (d_2)。顶点条件由子空间 (D_1 \subset \mathbb{C}^{d_1})、(D_2 \subset \mathbb{C}^{d_2}) 以及作用于这些子空间的厄米矩阵 (A_1) 和 (A_2) 确定。当将这两个顶点拼接成一个顶点 (V) 时，新的顶点条件由子空间 (D’ \subset \mathbb{C}^{d}=\mathbb{C}^{d_1 + d_2}) 和厄米矩阵 (A’) 给出。

1.1 二次型的从属关系

我们定义二次型的从属关系：若二次型 (a(u, u)) 定义域为 (D_a)，二次型 (b(u, u)) 定义域为 (D_b)，当且仅当 (D_a \subset D_b) 且对于任意 (u \in D_a) 有 (a(u, u) \geq b(u, u)) 时，称 (a(u, u)) 从属于 (b(u, u))，反之亦然。这种关系对于比较两个二次型至关重要，因为只有当一个二次型定义在另一个二次型定义域的交集上时，才能进行比较。

1.2 定理 13.7

设 (L_{q}^{S}(A)(\Gamma)) 是度量图 (\Gamma) 上的薛定谔算子，顶点 (V^1) 和 (V^2) 的顶点条件分别由子空间 (D_1)、(D_2) 和厄米矩阵 (A_1)、(A_2) 确定。(\Gamma’) 是由 (\Gamma) 拼接这两个顶点得到的度量图，新顶点条件由子空间 (D’) 和厄米矩阵 (A’) 确定