30、谱的算术结构与晶体测度

谱的算术结构与晶体测度

在傅里叶分析中，我们会考虑迹公式和度量图谱理论的应用。结果表明，与度量图相关的谱测度给出了晶体测度的明确例子。

谱的算术结构

我们来探讨度量图上标准拉普拉斯算子谱的算术结构。它既取决于底层离散图 (G) 的拓扑结构，也取决于度量图 (\Gamma) 中边长度之间的关系。

迹公式（8.20）在我们的研究中将起到关键作用，但我们会对其进行稍微修改，把项 (\chi\delta) 从右边移到左边：
((1 + \beta_1)\underset{2 - \chi}{\underbrace{\delta}} + \sum_{k_n\neq0}(\delta_{k_n} + \delta_{-k_n}) = \frac{L}{\pi} + \frac{1}{\pi}\sum_{\gamma\in P}l(\text{prim}(\gamma))S_v(\gamma)\cos kl(\gamma)) (10.1)

这里假设图是连通的，因此 (m_s(0) = 1)。在原始公式（8.20）中，左边包含了所有谱信息，而右边收集了度量图的几何和拓扑特征。修改后的公式（10.1）反映了相应测度的晶体结构：左边以及右边的傅里叶变换都由狄拉克函数的无穷和给出。

考虑到迹公式的修改版本（10.1），很自然地，我们不看离散特征值 (\lambda_j)，而是看它们的平方根 (k_j = \sqrt{\lambda_j}\geq0)，并且调整 (k = 0) 处的谱，使得 (L^{st}(\Gamma)) 的修改谱 (\text{Spec}(\Gamma)) 为：
(\text{Spec}(\Gamma) = \left{\u