33、算术与晶体测度：从理论到实例

算术与晶体测度：从理论到实例

1. 晶体测度的存在性疑问

在给出一些例子后，正的一致离散晶体测度是否存在并不明确。Lev - Olevskii定理指出，在(R^1)中，每个具有一致离散傅里叶变换支撑的一致离散晶体测度都是广义狄拉克梳。在假定正性的情况下，该结果在(R^d)中同样成立。之前给出的晶体测度例子并不明确，很难控制测度的正性或支撑的算术性质。

不过，有几篇论文中明确提出了一些问题，而测度(\mu^*)为这些问题提供了肯定的答案：
- (a) 除了狄拉克梳，是否存在非负晶体测度？
- (b) 在定理1.2中能否得到一个正测度，即一个支撑仅包含任何算术级数中有限个元素的晶体测度？
- (c) 是否存在一致离散集(K)？狄拉克梳给出了一个简单答案，是否还有其他例子？
- (d) 设(\mu)是(R)上的测度，其支撑(K)一致离散且谱(S)离散封闭，那么(S)是否也一定是一致离散的？

在发现测度(\mu^*)之后，人们提出了几种显式构造晶体测度的替代方法，特别是使用以下数学概念：多元稳定多项式、具有实零点的三角多项式、(C^N)中的内函数、格上的线性递推关系和弯曲模型集。其中，具有实零点的三角多项式可用于刻画(R^1)上所有幂等晶体测度。

2. 图的谱作为Delone集

拉普拉斯算子作用在度量图上总是会产生正的晶体测度，而具有一致离散支撑的测度尤其令人感兴趣。由于Weyl渐近性，这类测度的支撑也是相对稠密的。既一致离散又相对稠密的离散集被称为Delone集。

谱的结构取决于边的长度是否有理相关：
|边长度关系|谱的性质|
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