26、标准拉普拉斯算子的迹公式解析

标准拉普拉斯算子的迹公式解析

1. 通量与零特征值代数重数

在图论相关的研究中，通量是一个重要的概念。对于每条路径，我们可以关联一个基本通量 (F^n)，其定义为：
[
F^n(E_k) =
\begin{cases}
\pm1, & \text{如果 } E_k \text{ 属于该路径} \
0, & \text{如果 } E_k \text{ 不属于该路径}
\end{cases}
]
这里的符号取决于路径沿着 (E_k) 的方向是正还是负。为了方便研究，我们通常假设 (F^n(E_n) = 1)，这一条件确定了最短路径的方向。

任意满足守恒律（8.17）的通量 (F)，都可以表示为基本通量 (F^n) 的线性组合。具体来说，通量 (F - \sum_{n = 1}^{\beta_1 = N - M + 1} F(E_n)F^n) 由生成树 (T) 支撑，并且在 (T) 上满足（8.17），所以它等于零。

通过这些分析，我们可以得出对于连通图，零特征值的代数重数 (m_a(0)) 为：
[m_a(0) = 1 + \beta_1 = 1 + N - (M - 1) = 2 - \chi]
对于非连通图，由于欧拉特征数 (\chi) 具有可加性，所以在一般情况下，公式 (m_a(0) = 2\beta_0 - \chi) 成立。这一结论意味着两个图的拉普拉斯算子只有在底层图具有相同数量的连通分量时才可能是等谱的。而且，对于连通图，谱重数和代数重数相等的充要条件是基本群平凡，即 (\beta_1 = 0)，也就是图为树。

2. 定向闭路径的定