53、阿哈罗诺夫 - 玻姆效应的拓扑阻尼现象解析

阿哈罗诺夫 - 玻姆效应的拓扑阻尼现象解析

1. 引言

在研究磁薛定谔算子时，我们关注其谱与磁通量之间的依赖关系。通过选择合适的磁通量值，谱对某些磁通量的依赖可能会被抑制，这种现象被称为拓扑阻尼。下面我们将以一个具体的例子来详细探讨这一现象。

2. 基础设定

考虑一个“8”字形的度量图 $\Gamma_{(2.4)}$ 以及磁拉普拉斯算子 $L_{0,a}^{SLS}$，其微分表达式为：
$\tau_{0,a} = \left(i\frac{d}{dx} + a(x)\right)^2$
同时，假定顶点条件为：
$i(S - I)\vec{u} = (S + I)\partial\vec{u}$
其中，$\vec{u}$ 和 $\partial\vec{u}$ 分别是函数及其法向扩展导数在顶点 $V$ 处的所有极限值向量。矩阵 $S$ 是酉矩阵，用于参数化所有可能的匹配条件，使得算子 $L$ 在 $L^2(\Gamma_{(2.4)})$ 中自伴。

我们主要关注谱对通过两个环的磁通量 $\varphi_j$ 的依赖关系，其中：
$\varphi_j = \int_{x_{2j - 1}}^{x_{2j}} a(x)dx, j = 1, 2$

通过变换 $U_a : u(x) \to \exp\left(i\int_{x_{2j - 1}}^{x} a(y)dy\right) u(x)$，磁拉普拉斯算子被映射到拉普拉斯算子 $L^{S\varphi_1,\varphi_2} = L_{0,0}^{S\varphi_1,\varphi_2}$，其定义在满足顶点条件 $i(S^{\varphi