25、迹公式：有限紧致度量图的谱与闭路径的联系

迹公式：有限紧致度量图的谱与闭路径的联系

1. 迹公式概述

迹公式建立了有限紧致度量图的谱与图上闭路径集合之间的联系，本质上是在度量图的谱性质和几何/拓扑性质之间搭建了一座桥梁。

最初，这样的公式是针对定义在黎曼流形上的拉普拉斯算子证明的，也就是现在所知的Chazarain - Duistermaat - Guillemin - Melrose迹公式：
(\sum_{\lambda_j \in Spec \Delta} \cos \lambda_j^{1/2} t = \sum_{\gamma} \frac{\ell(prim(\gamma))}{|I - P_{\gamma}|^{1/2}} \delta(t - \ell(\gamma)) + R, t > 0)
这个公式中，左边的求和是对拉普拉斯算子的所有特征值进行的，右边的求和则是对黎曼流形上的所有闭测地线进行的。(\ell(\gamma)) 表示测地线 (\gamma) 的长度，(prim(\gamma)) 表示原始测地线，(P_{\gamma}) 是围绕 (\gamma) 的庞加莱映射，余项 (R) 是 (L_{1,loc}) 中的某个（未指定的）函数，这意味着该公式在 (L_{1,loc}) 函数的意义下成立。

这个公式可以看作是傅里叶分析中经典泊松求和公式以及塞尔伯格迹公式的推广。接下来，我们将为度量图的情况证明一个与上述公式直接类似的公式。为了简化，我们首先考虑由度量图唯一确定的标准拉普拉斯算子。与上述公式不同的是，我们要证明的公式是精确的，不包含任何余项。

2. 正特征值的特征方程及重数

2.1 标准拉普拉斯算子的非负性