27、迹公式与逆问题：拉普拉斯算子及欧拉特征的深入探究

迹公式与逆问题：拉普拉斯算子及欧拉特征的深入探究

1. 具有尺度不变顶点条件的拉普拉斯算子迹公式

迹公式可以很容易地推广到顶点处的非标准条件以及边上的非零势。对于具有尺度不变顶点条件的拉普拉斯算子，证明过程几乎无需修改，但有几点需要考虑：
- 特征值零的重数 ：特征值零的谱重数和代数重数不再由定理8.2给出，而是依赖于顶点条件。例如，对于一个具有一些悬挂边的紧致连通图 $\Gamma$，设 $L^{st,D}$ 是在悬挂顶点处满足狄利克雷边界条件，在其他顶点处满足标准顶点条件的拉普拉斯算子，该算子不以零为特征值，但特征值零的代数重数可能不为零，经计算可得 $m_a(0) = 1 - \chi$。
- 顶点散射系数 ：顶点处的散射系数不再是实数，因此 $S(k)$ 的相反幂次的贡献不能像公式(8.20)那样合并为 $S_v(\gamma) \cos k\ell(\gamma)$。
- 拉普拉斯算子的非负性 ：具有尺度不变条件的拉普拉斯算子是非负的，因为其二次型由狄利克雷积分给出，且顶点处无贡献。

对于一个总长度为 $L$ 的有限紧致度量图 $\Gamma$，设 $L^S(\Gamma)$ 是 $L^2(\Gamma)$ 中由酉埃尔米特矩阵 $S^m$（$m = 1, 2, \cdots, M$）描述的尺度不变顶点条件确定的拉普拉斯算子，有以下两个精确的迹公式：
[
\mu(k) = 2m_s(0)\delta(k) + \sum_{k_n \neq 0} (\delta_{k_n}(k) + \delta_{-k_n}(k)) = (2m_