50、非线性状态估计中的滤波算法及应用

非线性状态估计中的滤波算法及应用

在处理非线性状态估计问题时，传统的卡尔曼滤波器往往难以胜任。为了应对这一挑战，出现了扩展卡尔曼滤波器（EKF）、无迹卡尔曼滤波器（UKF）和粒子滤波器等方法。下面将详细介绍这些滤波器的原理、特点以及它们在实际中的应用。

1. 无迹卡尔曼滤波器（UKF）

1.1 EKF的问题

扩展卡尔曼滤波器（EKF）在处理非线性问题时，通过将均值代入函数并基于线性近似更新协方差来进行预测。然而，当函数的非线性变化较大时，这种近似效果不佳，导致预测协方差不准确。

1.2 UKF的原理

无迹卡尔曼滤波器（UKF）同样假设预测状态服从正态分布，但它能提供比EKF更好的近似。UKF主要包括状态演化和测量融合两个步骤。

1.2.1 状态演化

状态演化的目标是通过将时间模型应用于上一时刻的后验分布，对当前时刻的状态进行预测。具体步骤如下：
1. 近似后验分布 ：用上一时刻的边缘后验分布近似为 $2D_w + 1$ 个delta函数的加权和，其中 $D_w$ 是状态的维度。
- 公式为：
[
Pr(w_{t - 1}|x_{1…t - 1}) = Norm_{w_{t - 1}}[\mu_{t - 1},\Sigma_{t - 1}] \approx \sum_{j = 0}^{2D_w} a_j\delta[w_{t - 1} - \hat{w}[j]]
]
- 其中，权重 ${a_j} {j = 0}^{2D_w}$ 为正且总和为1，delta函数称为sigma点。sigma