32、相机几何问题与齐次坐标的应用

相机几何问题与齐次坐标的应用

1. 引言

在计算机视觉领域，相机模型的参数估计和三维场景重建是重要的研究内容。本文将介绍三个几何问题，包括学习相机的内参、外参以及推断三维世界点的位置，并阐述如何通过齐次坐标来解决这些问题。

2. 三个几何问题

• 问题 1：学习相机内参
  • 目标：已知世界中一个物体上的一组点 ${w_i} {i = 1}^I$ 及其在图像中的二维位置 ${x_i} {i = 1}^I$，估计相机的内参 $\Lambda$。
  • 方法：这是一个最大似然学习问题，需要同时估计外参 $\Omega$ 和 $\tau$。正式表述为：
    $\hat{\Lambda} = \arg\max_{\Lambda} \left[\max_{\Omega,\tau} \left[\sum_{i = 1}^I \log[\Pr(x_i|w_i,\Lambda,\Omega,\tau)]\right]\right]$
  • 校准过程：需要一个已知的三维物体，其表面上的点可以在图像中被识别和定位。常见的方法是使用定制的三维校准目标。
• 问题 2：学习相机外参
  • 目标：已知物体上的 $I$ 个不同三维点 ${w_i} {i = 1}^I$ 及其在图像中的投影 ${x_i} {i = 1}^I$，以及已知的内参 $\Lambda$，估计相机与物体之间的几何关系，由旋转矩阵 $\Omega$ 和平移向量