38、二阶 μ-演算的对应语义

二阶 μ-演算的对应语义

1. 公式与上下文示例

考虑公式 $\mu Z.\exists x.(s(x) = t(x) \vee \Diamond Z)$，它包含一个量化变量 “$x$”，但没有自由变量。该公式的上下文可以是任何不包含 $x$ 的一阶变量集合，以及任何二阶变量集合，甚至可以是空上下文 $[\varnothing; \varnothing]$。

例如，假设公式 $s(x) = t(x)$ 的上下文为 $[{x}; \varnothing]$，为了应用析取规则，$\Diamond Z$ 也需要有相同的上下文 $[{x}; \varnothing]$，从而得到 $(s(x) = t(x) \vee \Diamond Z)[{x}; \varnothing]$。接着应用一阶量词规则，从上下文中移除 $x$，得到 $\exists x.(s(x) = t(x) \vee \Diamond Z)[\varnothing; \varnothing]$。最后，应用最小不动点规则，得到带上下文的公式 $\mu Z.\exists x.(s(x) = t(x) \vee \Diamond Z)[\varnothing; \varnothing]$。

2. 对应语义

2.1 赋值定义

对于世界 $w \in M$，变量赋值 $\sigma = (\sigma_1, \sigma_2)$ 是一对类型化的部分函数，其中 $\sigma_1 : X \rightharpoonup Ad(w)$，$\sigma_2 : X \rightharpoonup 2^{Ad(w)}$。

用 $\Omega$ 表示对 $(\sigma,