46、广义倒狄利克雷预测模型

广义倒狄利克雷预测模型

1 广义倒狄利克雷混合模型

设 $M$ 表示不同分量的数量。假设一个 $D$ 维正向量 $Y = (Y_1, \cdots, Y_D)$ 遵循广义倒狄利克雷（GID）分布的有限混合模型，其共同概率密度函数 $p(Y | \pi, \alpha, \beta)$ 如下：
[p(Y | \pi, \alpha, \beta) = \sum_{j=1}^{M} \pi_j GID(Y | \alpha_j, \beta_j)]
其中，$\alpha = {\alpha_1, \cdots, \alpha_M}$，$\beta = {\beta_1, \cdots, \beta_M}$，$\alpha_j$ 和 $\beta_j$ 是表示分量 $j$ 的 GID 分布的参数，$\alpha_j = {\alpha_{j1}, \cdots, \alpha_{jD}}$，$\beta_j = {\beta_{j1}, \cdots, \beta_{jD}}$。$\pi = {\pi_1, \cdots, \pi_M}$ 表示混合权重，且 $\sum_{j=1}^{M} \pi_j = 1$。$GID(Y | \alpha_j, \beta_j)$ 是具有参数 $\alpha_j$ 和 $\beta_j$ 的表示分量 $j$ 的 GID 分布，定义为：
[GID(Y | \alpha_j, \beta_j) = \prod_{l=1}^{D} \frac{\Gamma(\alpha_{jl} + \beta_{jl})}{\Gamma(\alpha_{jl}) \Gamma(\beta_{jl})} \frac{Y_{l}^{\alpha_{jl}-1}}{(1 + \sum_