数值计算值第四期：解线性方程组的扰动分析_方程组扰动性分析-优快云博客

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本文介绍了数值计算中线性方程组的扰动分析，包括矩阵条件数的概念及其性质，病态矩阵的定义和识别方法。通过条件数，分析了系数矩阵和右端项扰动对解的影响。虽然扰动分析与算法无关，但提出了解决病态矩阵问题的策略，如残差回代和寻找替代矩阵。

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参考资料：
数值分析教程刘长安西北工业大学出版社
数值计算方法黄云清科学出版社
数值分析简明教程王能超高等教育出版社第二版

说明

本来说是五月份月底会把这期写完的，然鹅。。。事情并不如我想的这样，mathor cup加上返校后的一系列考试真是让我有些应付不过来，转眼间就到六月了。还有就是，值得注意的一件事情，我做的第三期的阅读量比其他几期的阅读量都要高呢，看来许多朋友是对解决问题的方法更感兴趣。不过呢，我想说方法固然重要，理论分析虽然枯燥但也同等重要。emmmm。。。还想说点啥，想想还是算了。咱们直接进入正题吧。

扰动分析

这里说的扰动分析其实也就是平常说的误差分析了，不过这里做分析的情况稍有不同。下面先定义一下矩阵的条件数。

矩阵的条件数

定义1：设A为方阵且非奇异，称 $∥A∥⋅∥A−1∥\Vert A\Vert\cdot\Vert A^{-1}\Vert$ 为A的条件数，并记为 $c o n d (A)$ .特别当矩阵范数为 $∥⋅∥p\Vert\cdot\Vert_p$ 时，对应的条件数记为 $cond_p(A)$ . $p=∞和2p=\infty和2$ 时分别记为 $∞−\infty-$ 条件数和谱条件数.
根据定义，知条件数有如下性质:
(1) $∀A∈Rn,cond(A)=∥A−1∥∥A∥⩾∥A⋅A−1∥=1\forall A\in \mathbb R^n,cond(A)=\Vert A^{-1}\Vert\Vert A\Vert\geqslant\Vert A\cdot A^{-1}\Vert=1$ ;
(2) $∀c>0,cond(cA)=cond(A)\forall c>0,cond(cA)=cond(A)$