数值计算之第四期：追赶法和范数

axehead

于 2020-05-09 22:00:04 发布

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分类专栏：数值分析文章标签：算法线性代数矩阵经验分享

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/axehead/article/details/105922745

本文介绍了追赶法解三对角矩阵的详细步骤，并探讨了矩阵范数和向量范数的概念，包括1范数、2范数和∞范数。通过讲解相关定理，阐述了矩阵范数的性质及其与谱半径的关系，为数值计算提供了理论基础。

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上一期链接：https://blog.youkuaiyun.com/axehead/article/details/105855475

参考资料：
数值分析教程刘长安西北工业大学出版社
数值计算方法黄云清科学出版社
数值分析简明教程王能超高等教育出版社第二版

追赶法解三对角矩阵

上一期末尾提到了cholesky分解和追赶法，但是没有展开来讲，这期就提一下追赶法的计算步骤.至于cholesky分解，后面会有专门针对正定矩阵的算法，这里就不说了.
设系数矩阵A为：
$A=[e1f10d2⋱⋱⋱⋱fn−10dnen]A=\begin{bmatrix} e_1 & f_1 & & 0\\ d_2 & \ddots & \ddots& \\ &\ddots &\ddots & f_{n-1}\\0 & & d_n& e_n\\ \end{bmatrix}$
我们将形似方阵A的矩阵称为三对角矩阵.
对这类矩阵，有如下分解：
$A=LU=[10l21⋱⋱0ln1]⋅[r1f10r2⋱⋱fn−10rn]A=LU=\begin{bmatrix} 1 & & & 0\\ l_2 & 1 & & \\ &\ddots &\ddots & \\0 & & l_n& 1\\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} r_1 & f_1 & & 0\\ & r_2 & \ddots& \\ & &\ddots & f_{n-1}\\0 & & & r_n\\ \end{bmatrix}$
得到分解的矩阵及具体的求解过程如下：
令 $r_1=e_1$ ，然后对 $i = 2, . . ., n$ 计算
$li=diri−1l_i=\frac {d_i}{r_{i-1}}$