数值计算之第二期：误差分析_e的x次方截断误差怎么求-优快云博客

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本文详细介绍了数值计算中的误差来源，主要包括截断误差和舍入误差。通过实例解释了截断误差的概念，如泰勒展开的近似计算。同时，讨论了舍入误差，特别是β进制数在计算机表示时的误差。此外，还阐述了近似数的绝对误差、相对误差和有效数字的概念，以及它们与误差的关系。

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参考资料：
数值分析教程刘长安西北工业大学出版社
数值计算方法黄云清科学出版社
数值分析简明教程王能超高等教育出版社第二版

误差来源

误差来源主要分为以下几种：模型误差、观测误差、舍入误差以及截断误差。我们主要讨论一下截断误差以及舍入误差。
以下我们的x表示某一个β进制数为 $x=0.a1a2...as×βcx=0.a_{1}a_{2}...a_{s} \times \beta ^{c}$

截断误差

模型的准确解与数值方法的准确解之差就称为截断误差。什么意思呢？举个简单点的例子就是：
已知 $x>0x\gt0$ ,求 $e^{x}$ 时，有泰勒展开
$ex=1+x+12x2+16x3+...e^{x}=1+x+\frac1 2x^{2}+\frac1 6x^{3}+...$
取部分和
$e(x)=1+x+12x2+16x3e(x)=1+x+\frac1 2x^{2}+\frac1 6x^{3}$
作为 $e^{x}$ 的近似值,则误差项就为
$R(x)=ex−e(x)=124e−ξx4,其中0<ξ<x.R(x)R(x)=e^{x}-e(x)=\frac1 {24}e^{-\xi}x^{4},其中0\lt\xi\lt x.R(x)$ 即为 $e (x)$ 作为 $e^{-x}$ 的近似时所产生的误差，这样的误差就是我们所谓的截断误差 .
用数学的语言描述的话就是将 $f l (x)$ (这是上次留下的一个坑，等会会补上)取成满足 $∣fl(x)∣≤∣x∣|fl(x)|\le|x|$ 的误差最小者，即：
$∣x−fl(x)∣=min⁡f∈F,∣f∣≤∣x∣∣x−f∣|x-fl(x)|=\min \limits_{f\in F,|f|\leq|x|}|x-f|$