数值计算之第三期：直接法解线性方程组

最新推荐文章于 2022-11-15 14:50:02 发布

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#线性代数 #matlab #矩阵 #算法 #经验分享

本文介绍了数值计算中的直接法解线性方程组，包括高斯消元法、列主元消去法和全主元消去法。通过矩阵的三角分解，特别是LU分解，阐述了解线性方程组的过程。文中还提到特殊矩阵的三角分解，并指出列主元和全主元消元法在减少误差方面的优势。

上一期链接：https://blog.youkuaiyun.com/axehead/article/details/105626675

参考资料：
数值分析教程刘长安西北工业大学出版社
数值计算方法黄云清科学出版社
数值分析简明教程王能超高等教育出版社第二版

高斯消元

高斯消元的思想其实我们在中小学的时候就已经接触过，比如给出一个二元一次方程组，我们先将某一个方程乘以一个数，使得这个方程与剩下的方程相加后能消去某一个元，从而得解。
对于一般的方阵而言（我们下面只讨论方阵，对于其它类型的系数矩阵以后讨论），设有n阶方阵 $A=(a_{ij})$ ,和n维列向量 $b=(b_{k}),x=(x_{k})$ 组成线性方程组 $A x = b$ (x是未知量).下面进行消元，总共分为n-1个步骤，但每一步都是类似的，即第k（ $1≤k≤1\le k\le$ n-1）步就是将第k行的 $−ajkkakk\frac {-a_{jk}^{k}}{a_{kk}}$ 倍加到第j（ $k+1≤j≤nk+1\le j\le n$ ）行,其中 $a_{jk}^{k}$ 表示的是第k步消元之前系数矩阵A的 $a_(kj)$ 元素（之所以加一个上标是为了区分每一步中对应的矩阵，因为每步消元矩阵A中的元素都会变化,同时每一步消元后系数矩阵A对角线上元素除 $a_{nn}$ 外均不为零）.注意！向量b要和A做同步的处理.
这样一来，第k步消元之前的方程组就可以表示为如下形式：
$a111x1+a121x2+...+a1n1xn=b11a_{11}^{1}x_1+a_{12}^{1}x_2+\qquad ...+a_{1n}^{1}x_n=b_1^{1}$
$a222x2+...+a2n2xn=b22\qquad\ \ \ \ \ \ a_{22}^{2}x_2+\qquad ...+a_{2n}^{2}x_n=b_2^{2}$

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