数值计算入门与计算机数系-优快云博客

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本文探讨了数值计算的基础，介绍了计算机数系的概念，包括不同进制数的表示及浮点数的规格化形式。文章详细解释了β进制数、数的浮点表示，并分析了计算机所能表示的数的范围。

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数值计算从这里启航

做数值的初衷

第一次写博客，博客上的编辑器用的不太熟练，以后会慢慢改进。最近在学习数值计算，所以我打算做一个以数值计算为主题的专题，一方面是回顾一下所学的知识，另一方面是希望将我的一些经验分享给大家。作为一名学生党，我很清楚学习不是一件很轻松的事（对绝大多数人来说），经常需要参考课堂以外的资料以及借鉴前人的经验，不是说鼓励抄袭或者不主张独立思考什么的，而是说一个人的能力确实有限，尽量要站在巨人的肩膀上看世界。可能数值计算这方面本站有很多牛人已经分享过经验了，不过我这里只是总结归纳，一期一期地讲，尽可能细致一点，当然有错误的地方欢迎指正。那么，题外话就不多说了，进入正题吧。

简单介绍

数值计算这门课，怎么说呢，一方面对数学的要求是比较高的，另一方面对程序语言的应用能力也是比较高的，这两方面后面会慢慢体现出来。基本上所有的数值计算课程都是从计算机的数系、误差、算法的数值稳定开始的，这里我们也不例外，首先讲讲计算机中的数系吧。

计算机的数系

β进制数

所谓β进制数其实就是以β为进制的数，说人话就是

$X=±(a_{n-1}β^{n-1}+ a_{n-2}β^{n-2}+ a_{n-3}β^{n-3}+…+ a_{1}β^{1}+ a_{0}β^{0}+ a_{-1}β^{-1}+ a_{-2}β^{-2}+…+ a_{-m}β^{-m}) =±(a_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}…a_{0}a_{-1}a_{-2}…a_{-m})β$ ,其中0≤ $a_{k}$ <β为整数.

我们平常在做数值计算的时候用的比较多的是十进制数、二进制数、十六进制数.这里关于进制数之间的转换咱就不提了（说白了就是不想码公式）

数的浮点表示

规格化的浮点数：要求小数点后第一位数字非0.在β进制下，规格化的浮点数就可以表示成
$0.a1a2...as×βc0.a_{1}a_{2}...a_{s} \times \beta ^{c}$
其中,1 $≦a1<β\leqq a_{1}\lt\beta$ , $0≦ai<β,i=2,3,...,s.0\leqq a_{i}\lt\beta,i=2,3,...,s.$ 称 $0.a_{1}a_{2}...a_{s}$ 为浮点数的尾数部分， $s⩾1s\geqslant1$ 为整数.c为阶码为β进制的整数.
例如：
$0.11001×2−110,0.11001\times2^{-110},$ 二进制

$0.77×1012,0.77\times10^{12},$ 十进制

计算机的数系

对浮点数有一个大概的认识了之后，我们还应该了解到什么样的数计算机可以表示出来，那么显然的，计算机表示的数位数是有限的.
事实上机器的数系由 $(β.t.M.m)(\beta.t.M.m)$ 所确定，其中t为计算机的字长，m和M确定阶码c的范围，即 $m≦c≦Mm\leqq c\leqq M$ ,一般而言 $n = - M$ ,或 $n = - M + 1 .$ 记机器的数系就为 $F(β,t,m,M)F(\beta,t,m,M)$ .下面我们就简记为F.显然对任意f属于F，成立
$βm−1≦∣f∣≦(1−β−t)βM\beta^{m-1}\leqq|f|\leqq(1-\beta^{-t})\beta^{M}$
(推不出来的同学可以代几个实际的数验证一下，其实挺简单的)
那么这样一来计算机中所有十进制的数包括0的规格化浮点数个数就为：
$18×10t−1×(M−m+1)+118\times10^{t-1}\times(M-m+1)+1$
一般基数为 $β\beta$ 的规格化浮点数个数为：
$2(β−1)βt−1×(M−m+1)+12(\beta-1)\beta^{t-1}\times(M-m+1)+1$
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这次就先简单介绍一下计算机中数的表示，下次我们就接着聊聊误差
（第一次写博客是真的不容易。。。哎！尤其是公式码得我脑阔疼）