10、量子算法入门：物理学家的视角

量子算法入门：物理学家的视角

1. 引言

量子算法领域发展迅速，其首个算法由 David Deutsch 提出，这一成果首次表明量子计算机可能超越经典计算机。后来，Deutsch 和 Jozsa 对该算法进行了扩展。这些算法主要用于确定布尔函数的性质。

布尔函数将 n 位字符串映射为 0 或 1，即 (f : {0, 1}^n \to {0, 1})。若函数对所有输入都返回相同结果（全为 0 或全为 1），则为常数函数；若对一半输入返回 0，另一半输入返回 1，则为平衡函数。经典方法确定布尔函数是常数还是平衡函数，最坏情况下需要 (2^{n - 1} + 1) 次函数评估，而量子算法仅需一次评估就能确定。

除了 Deutsch - Jozsa 算法，还有 Bernstein - Vazirani 算法和 Grover 算法等用于确定布尔函数性质的算法。Peter Shor 提出的素因数分解算法更是引起了广泛关注，经典算法分解整数素因数的复杂度是指数级的，而 Shor 算法是多项式级（实际上是三次方）的，这对数据加密有重大影响。

量子信息领域近年来取得了显著进展，部分得益于量子行走（量子版的随机行走）的发展。本文将从物理学家的视角介绍量子算法，先从一个简单问题入手，接着讨论 Deutsch - Jozsa、Bernstein - Vazirani 和 Grover 算法，最后探讨量子行走。

2. 一个简单问题

给定一个双量子比特门，即受控 - U 门。输入分为控制输入 (a) 和目标输入 (b)。当控制量子比特处于 (|0\rangle_a) 态，目标量子比特为任意态 (|\omega\rangle_b) 时，输出为