16、可归约树类的性质与闭包特性

可归约树类的性质与闭包特性

在树自动机和逻辑的研究领域中，可归约树类的相关性质和闭包特性是重要的研究内容。下面将详细探讨树的秩、一些特殊树的性质以及树变换下的闭包特性。

1. 树的秩与可判定性

存在一些不在Caucal层次结构中的树，我们可以通过特定方法分析它们的秩和可判定性。例如，对于树T，给定B - 增强树自动机A，设 -ν 是ν的A - 抽象，σ 是F的次要A - 类型。根据推论1， -νtow(n)(σ) 是T在顶点an2 处的标记因子的次要A - 类型。由此定义的无限完全B - 标记TA - 着色树 -T ，即 -T (an2 ) = -νtow(n)(σ) ，编码了T相对于A和Π的收缩。而且，由于函数tow是有限最终周期的，所以 -T 是正则树，这表明树T的秩为1，并且具有可判定的MSO理论。

类似地，对于图3.14中所示的树T ′ ，我们可以通过定义两个基本树F和G，然后确定T ′ 内的一些标记因子Fn ，使其满足方程Fn = νtow(n)−1(F)（对于所有n ∈ N，其中ν是由G指定的正则树插入），来证明树T ′ 的秩为1。

2. 闭包性质

对于秩为n的树类C ，如果对于C中的每棵树T和树变换族F中的每个变换f ，将f应用于T得到的树T ′ 仍属于C ，并且T ′ 的足迹可以根据T的足迹计算得出，那么我们称树类C在树变换族F下是有效闭包的。下面将分别证明秩为n的树类在具有有理前瞻的树转换以及带有后向边和循环的展开操作下的闭包性质。

2.1 具有有理前瞻的树转换下的闭包

证明是通过对涉及树的秩进行归纳来完成的。已知任何具有有理前瞻的树转换都等价于合适的正则树态射和具有有理前瞻