36、语法学习中的范数、树重写系统与通用学习算法

语法学习中的范数、树重写系统与通用学习算法

1. H¨older 范数与语言层次定理

1.1 H¨older 范数定义

H¨older 范数是一类重要的范数，其形式为 $|x | p = (\sum {i=1}^{n} |x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$，其中 $x \in R^n$ 且 $p \geq 1$。当 $p = 1$ 时，它就是求和界限；当 $p \to \infty$ 时，它是最大界限；当 $p = 2$ 时，得到的是欧几里得距离界限。

1.2 相关命题与定理

• 命题 5 ：
  • 对于任何 $p \geq 1$，有 $|x |_{\infty} \leq |x |_p$。
  • 在一维空间中，对于任何 $p \geq 1$，有 $|x |_{\infty} = |x |_p$。
• 定理 7 ：固定有限字母表 $\Sigma$ 和 $p \geq 1$，层次结构 $LH(k,p)(\Sigma)$ 和 $FLH(k,p)(\Sigma)$ 中的族都具有有限弹性。
• 定理 8 ：对于任何 $k, p \geq 1$，有 $LH(k,p)(\Sigma) \subsetneq LH(k + 1,p)(\Sigma)$。
• 定理 9 ：对于任何 $k, p \geq 1$，有 $FLH(k,p)(\Sigma)