8、UPA 自动机的推理与算法应用

UPA 自动机的推理与算法应用

在处理最终周期词集合的相关问题时，UPA（Ultimately Periodic Automaton）自动机展现出了强大的能力。本文将深入探讨 UPA 自动机的相关推理和算法，包括如何将其转换为规范形式，以及解决一系列经典问题的具体方法。

1. UPA 转换为规范形式

将 UPA 转换为规范形式可按以下步骤进行：
1. 计算前缀自动机 ：此操作会生成一个非确定有限自动机（NFA），它隐式地表示原始的前缀友好 UPA。
2. 计算最小等效确定有限自动机（DFA） ：该操作会产生一个具有最少状态数的 DFA，它能识别原始 UPA 的前缀语言。不过，从计算角度来看，这一步是最具挑战性的，因为一般情况下，确定性前缀自动机可能比等效的非确定性前缀自动机大指数倍。实验表明，Brzozowski 算法是解决前缀自动机确定化和最小化问题的最有效方法。
3. 将最小 DFA 转换回 UPA ：最终得到规范形式的 UPA。

除第二步外，其他转换操作的计算成本较低。Brzozowski 算法的具体步骤为：给定一个通用的 NFA A′，首先反转 A′ 的转换（记为 Rev），然后进行子集构造以构建与反转后的 A′ 等效的 DFA（记为 Det），最后再迭代这两个操作一次。可以证明，Det(Rev(Det(Rev(A′)))) 是与 NFA A′ 等效且具有最少状态数的 DFA，最坏情况下，该构造需要 O(2n) 的时间和空间，其中 n 是输入自动机 A′ 的状态数。

如果给定一个处于正常形式的 UPA A，可以