34、预测是否存在优雅的通用理论？

预测是否存在优雅的通用理论？

在预测领域，我们常常思考是否存在一种通用且优雅的理论来准确预测各种序列。本文将围绕这一核心问题，深入探讨序列预测的相关内容，包括简单可计算序列的预测、预测复杂度、难以预测的序列以及数学分析的局限性。

1. 确定性预测的必要性

在预测过程中，我们首先遇到了概率预测的问题。当允许预测器为概率性时，它并不能从根本上避免一些问题。例如，在每一步中，算法 q 尝试生成在给定 $x_{1:n}$ 时预测器 p 最不可能预测的符号，这就需要模拟 p 来估计概率。但即便如此，最终得到的可计算序列 ω 使得预测器 p 的性能并不比随机预测好多少。因此，为了更清晰地探究问题根源，我们后续将只考虑确定性预测器。

2. 简单可计算序列的预测

由于对任意可计算序列进行可计算预测是不可能的，我们将目标降低为能够预测所有“简单”的可计算序列。这里给出相关定义：
- 对于 $n \in N$，定义 $C_n := {ω \in C : K(ω) ≤ n}$，即复杂度不超过 n 的可计算序列集合。
- 令 $P_n := P(C_n)$ 为能够学习预测 $C_n$ 中所有序列的预测器集合。

接下来，我们证明了存在可以学习预测给定复杂度内所有序列的预测算法，并且这些预测器的复杂度并不比它们能预测的序列复杂很多：
- 引理 5 ：$\forall n \in N, \exists p \in P_n : K(p) < + n + O(log n)$。
- 证明思路 ：设 h 为长度为 n 或更短且能生成无限序列的程序数量。构