2、机器学习中的优化与学习模型

机器学习中的优化与学习模型

1 半无限线性规划的求解

在机器学习中，线性优化问题（LPs）经常以各种形式出现，特别是那些具有大量甚至无限约束的问题。一个具有 $m$ 个约束的线性规划可以表示为：
$$
\min_{x\in P_n} c^{\top}x
$$
$$
\text{with } a_j^{\top}x \leq b_j, \forall i = 1, \ldots, m
$$
这里，为了简化，假设 $x$ 的定义域是 $n$ 维概率单纯形 $P_n$。当约束的索引集 $J$ 有无限多个元素时，如 $J = \mathbb{R}$，形如 $a_j^{\top}x \leq b_j$（对于所有 $j \in J$）的优化问题被称为半无限线性规划（SILPs）。在有限情况下，约束可以用一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵来描述，从而可以直接求解线性规划。但在半无限线性规划中，约束通常以依赖于 $j$ 的函数形式给出，或者是隐式定义的，例如通过另一个算法的结果来定义。

在机器学习中，有几个需要求解大型线性规划的例子：
- 提升算法（Boosting） ：这是一种组合分类器以提高准确性的方法，最著名的实例是 AdaBoost。在某些假设下，它能在无限维特征空间中找到一个具有大间隔的分离超平面，这相当于求解一个半无限线性规划。
- 结构化输出预测学习 ：可以理解为具有大量类别的多类分类问题。每个类和示例都会产生一个约束，从而导致一个巨大的优化问题。这种问题出现在自然语言处理、语音识别以及基因结构预测等领域。
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