数组分割问题

题目概述：有一个没有排序，元素个数为2N的正整数数组。要求把它分割为元素个数为N的两个数组，并使两个子数组的和最接近。

先给一个空间复杂度为O(2N*N*Sum/2)即O(N²Sum)的方法，下面会对空间复杂度进行优化：

        设F[i][j][k]表示前i个元素中选取j个元素，使得其和不超过k且最接近k。那么可以根据第i个元素是否选择来进行决策

        状态方程如下：

                           1-1

         其中，F[i-1][j][k]表示前i-1个元素中选取j个使其和不超过但最逼近k；

         F[i-1][j-1][k-A[i]]在前i-1个元素中选取j-1个元素使其和不超过但最逼近k-A[i]，这样再加上A[i]即第i个元素就变成了 选择上第i个元素的情况下最逼近k的和。而第一种情况与第二种情况是完备且互斥的，所以需要将两者最大的值作为F[i][j][k]的值。

/*
ArrayPartition
int data[] = {1, 5, 7, 8, 9, 6, 3, 11, 20, 17};
将一个有2n个元素的数组分割成元素个数相等（n）的两部分，使得两部分的和值最接近

@author arhaiyun
date:2013/09/24
*/
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <fstream>

using namespace std;


/*
[1].多维数组内存的动态分配
[2].动态规划思想的应用

*/

int main(int argc, char* argv[])
{

	//从文件中读取输入
	// fstream input("in.txt", ios::in);
	
	int data[] = {1, 5, 5, 7, 8, 9, 6, 3, 11, 20, 17, 6};
	int i, j, k;
	const int n = 6;
	int sum = 0;

	for(i = 0; i < 10; i++)
	{
		sum += data[i];
	}

	cout<<"sum : "<<sum<<endl;

	int half = sum / 2;

	int ***dp = new int**[2 * n + 1];
	int ***path = new int**[2 * n + 1];

	/*三维数组的初始化 空间复杂度O(sum*n^2)
	* dp[i][j][k]表示从数组前面i个元素中去j个元素的和最接近或等于k时候的值
	* path[i][j][k] 表示在这一步选择时候是否选择了data[i - 1];
	*/
	for(i = 0; i < 2 * n + 1; i++)
	{
		dp[i] = new int*[n + 1];
		path[i] = new int*[n + 1];
		for(j = 0; j < n + 1; j++)
		{
			dp[i][j] = new int[half + 1];
			path[i][j] = new int[half + 1];
			
			for(k = 0; k < half + 1; k++)
			{
				dp[i][j][k] = 0;
				path[i][j][k] = 0;
			}
		}
	}

	for(i = 1; i <= 2 * n; i++)
	{
		//限制取元素的个数小于等于n
		int limit = (i > n) ? n : i;
		
		for(j = 1; j <= limit; j++)
		{
			for(k = 0; k <= half; k++)
			{
				//加入data[i-1] 如果有更接近k的值，将路径记录下来
				if(data[i - 1] <= k && dp[i - 1][j - 1][k - data[i - 1]] + data[i - 1]<= k
					&& dp[i - 1][j - 1][k - data[i - 1]] + data[i - 1] > dp[i - 1][j][k])
				{
					dp[i][j][k] = dp[i - 1][j - 1][k - data[i - 1]] + data[i - 1];
					path[i][j][k] = 1;
				}
				else
					dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
			}
		}
	}
	
	cout<<"Left sum:"<<dp[10][5][half]<<endl;

	i = 10;
	j = n;
	k = half;

	while(i > 0 && j > 0 && k > 0)
	{
		if(path[i][j][k] == 1)
		{
			cout<<data[i - 1]<<" ";
			j = j - 1;
			k = k - data[i - 1];
		}
		i = i - 1;
	}
	

	system("pause");
	return 0;
}