9、图像变换技术：从卡尔胡宁 - 勒夫变换到离散小波变换

图像变换技术：从卡尔胡宁 - 勒夫变换到离散小波变换

1. 卡尔胡宁 - 勒夫变换与主成分分析

1.1 协方差矩阵

在实际的模式识别问题中，通常会有多个特征。在对这些数据进行统计分析时，需要确定这些特征之间是否相互独立。以人脸特征提取为例，可以选择两个特征：
- 特征 X ：两眼虹膜中心之间的距离。
- 特征 Y ：左右眉毛中心之间的距离。

通过大量人脸数据，可以计算出这两个特征的均值和标准差。为了了解这两个特征之间是否存在关系，需要计算数据集中每个模式的第一个特征 X 与第二个特征 Y 的均值之间的差异，这就是协方差。协方差的计算公式如下：
[Cov(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})]
其中，(n) 是面部模式的数量，(\overline{X}) 和 (\overline{Y}) 分别是特征 X 和 Y 的均值。

协方差的正负表示特征之间的关系：
- 正协方差 ：当一个特征（X）增加时，另一个特征（Y）也增加。
- 负协方差 ：当一个特征增加时，另一个特征减少。
- 零协方差 ：两个特征之间没有相关性，即相互独立。

在多维特征向量的情况下，需要计算每对特征之间的协方差，并构建协方差矩阵，矩阵中的每个元素表示两个特征之间的协方差。

1.2 特征向量和特征值