12、流形协议：分布式计算中的任务分析

流形协议：分布式计算中的任务分析

在分布式计算理论中，对任务按照难度进行分类是一个核心研究方向。我们关注两个重要任务：集合一致性（set agreement）和弱对称性破缺（weak symmetry breaking）。研究发现，第 8 章中的即时快照协议无法解决这两个任务。本文将介绍一类更广泛的协议——流形协议（manifold protocols），并证明它们也无法解决 k - 集合一致性问题。

1. 流形协议

单层即时快照协议具有一个有趣的性质：在任何 (n + 1) 进程协议复形中，每个 (n - 1) 单形都包含在一个或两个 n 单形中。具有这种性质的协议被称为流形协议，这类协议在解决任务方面存在一定限制。

1.1 细分与流形

单层即时快照协议复形是输入复形的细分。一个 (n + 1) 进程协议 (I, P, ) 若满足 P 是 I 的细分且细分载体映射 是染色的，则它是细分协议。细分协议是流形的一种特殊情况。

在点集拓扑中，n - 流形是指每个点都有一个与 n 维欧几里得空间同胚的邻域的空间，而带边界的 n - 流形是指每个点都有一个与 n 维欧几里得空间或 n 维欧几里得半空间同胚的邻域的空间。

我们定义：
- 一个 n 维的纯抽象单纯复形若任意两个 n 单形都可以通过一系列 n 单形连接起来，且每对连续的单形都有一个共同的 (n - 1) 维面，则称该复形是强连通的。
- 一个 n 维的纯抽象单纯复形 M 若满足强连通，且 M 中的每个 (n - 1) 单形恰好是一个或两个 n 单形的面，则称 M 为带边界的伪流形，在本文中简称为流形。

流形在细分操作下保持不