10、数值积分中的二重和三重积分及蒙特卡罗积分方法

数值积分中的二重和三重积分及蒙特卡罗积分方法

1. 测试函数的使用与注意事项

在数值积分的实现中，测试函数起着关键作用。当调用 test_midpoint_double 函数没有任何报错时，通常意味着实现是正确的。但一个运行时完全静默的函数可能会让人不安，我们无法确定所有计算是否都正确进行。因此，在开发过程中，建议插入打印语句来监控计算过程，以确保测试函数按预期工作。不过，测试函数通常不应包含打印语句，所以可以像之前列出的函数那样将其注释掉。

此外，梯形法可以作为中点法的替代方法。二重积分公式的推导和实现思路与中点法类似，但公式中会有更多的项。相关练习能很好地检验对本节数学和编程思想的理解。

2. 三重积分的中点法则

2.1 理论推导

当一个适用于一维问题的方法推广到二维后，通常很容易将其扩展到三维。以积分为例，对于三重积分 $\iiint g(x,y,z)dzdydx$，我们可以仿照二重积分的思路，将其拆分为一维积分。

首先，对每个一维积分应用中点法则。通过一系列推导，最终得到三重积分的近似公式：
$\iiint g(x,y,z)dzdydx \approx h_xh_yh_z \sum_{i=0}^{n_x - 1}\sum_{j=0}^{n_y - 1}\sum_{k=0}^{n_z - 1} g(x_i, y_j, z_k)$
其中，$x_i = a + \frac{h_x}{2} + i h_x$，$y_j = c + \frac{h_y}{2} + j h_y$，$z_k = e + \frac{h_z}{2} + k h_z$。