56、形状描述符：边界与区域特征分析

形状描述符：边界与区域特征分析

1. 椭圆傅里叶描述符

1.1 椭圆相量的几何解释

方程中的每一项都可解释为椭圆相量（旋转向量）。对于固定的 $k$ 值，三角求和在复平面上定义了椭圆的轨迹。当改变参数 $t$ 时，点会以与谐波数 $k$ 成正比的速度描绘椭圆，$k$ 表示在从 0 到 $T$ 的时间间隔内点完成的周期数。

1.2 不变性分析

1.2.1 平移变换

若轮廓分别沿实轴和虚轴平移 $t_x$ 和 $t_y$，则变换后的轮廓系数与原系数关系如下：
- 当 $k \neq 0$ 时，$a_{xk}’ = a_{xk}$，$b_{xk}’ = b_{xk}$，$a_{yk}’ = a_{yk}$，$b_{yk}’ = b_{yk}$。
- $a_{x0}’ = a_{x0} + 2t_x$，$a_{y0}’ = a_{y0} + 2t_y$。

这表明除 $a_{x0}$ 和 $a_{y0}$ 外，其他系数在平移变换下保持不变，因为这两个系数代表形状轮廓重心的位置，平移仅改变曲线位置。

1.2.2 尺度变换

若轮廓以其重心为中心进行缩放，缩放因子为 $s$，则变换后的轮廓系数与原系数关系如下：
- 当 $k \neq 0$ 时，$a_{xk}’ = sa_{xk}$，$b_{xk}’ = sb_{xk}$，$a_{yk}’ = sa_{yk}$，$b_{yk}’ = sb_{yk}$。
- $a_{x0}’ = a_{x0}$，$a_{y0}’ = a_{y0}$。

即除 $a_{x0}$ 和 $a_{y