35、计算机视觉中的边缘检测算子详解

计算机视觉中的边缘检测算子详解

1. 拉普拉斯算子及其局限性

拉普拉斯算子是一种高阶微分算子，属于二阶算子。由于其基本形式在实际应用中存在一定局限，所以很少以原始形式使用。在进行平滑处理时，虽然可以使用之前介绍的平均算子，但高斯平滑是一种更优的选择。当将高斯平滑融入拉普拉斯算子中时，就得到了高斯拉普拉斯（LoG）算子，它是 MarreHildreth 方法的基础。

拉普拉斯算子的一个明显缺点是无法提供边缘方向信息，但它的计算成本较低，这是其主要优势。随着对 MarreHildreth 方法的兴趣增加，对拉普拉斯算子的关注度有所下降。不过，后来开发出了非线性拉普拉斯算子，在低噪声情况下表现良好。

2. MarreHildreth 算子

2.1 原理与公式推导

MarreHildreth 方法再次运用了高斯滤波。原理上，需要一个图像，它是高斯算子 $g(x,y)$ 的二阶微分 $V^2$ 与图像 $P$ 的卷积。这个卷积过程可以分离为：
$V^2(g(x,y) * P) = V^2(g(x,y)) * P$

通过对相关公式进一步求导，得到高斯拉普拉斯（LoG）算子：
$V^2 g(x,y) = \frac{\partial^2g(x,y,\sigma)}{\partial x^2}U_x + \frac{\partial^2g(x,y,\sigma)}{\partial y^2}U_y$
$ = \frac{\partial Vg(x,y,\sigma)}{\partial x}U_x + \frac{\partial Vg(x,y,\sigma)}{\partial y}U_y$