34、图像边缘检测技术详解

图像边缘检测技术详解

1. 信号处理与Sobel算子的z变换表示

在信号处理中，$z^{-1}$ 本质上是一个单位时间步长的延迟算子，因此 $z$ 可以被看作是单位（时间步长）的提前算子。即 $f(t - s) = z^{-1}f(t)$ 且 $f(t + s) = zf(t)$，其中 $s$ 是采样间隔。

当存在两个空间轴 $x$ 和 $y$ 时，我们可以通过 $z$ 变换符号，沿着这两个轴使用延迟和提前来表示图 4.13A 中的 Sobel 算子：
[
Sobel(x, y) = -z^{-1}_xz^{-1}_y + 0 + z_xz^{-1}_y - 2z^{-1}_x + 0 + 2z_x - z^{-1}_xz_y + 0 + z_xz_y
]
这里包含了零来表示空模板元素。通过标准替换（通过保角映射，沿频率轴计算）$z^{-1} = e^{-j\omega t}$，可以从时间（$z$）域转换到频率域（$\omega$），进而得到：
[
\begin{align }
Sobel(\omega_x, \omega_y) &= -e^{-j\omega_x t}e^{-j\omega_y t} + e^{j\omega_x t}e^{-j\omega_y t} - 2e^{-j\omega_x t} + 2e^{j\omega_x t} - e^{-j\omega_x t}e^{j\omega_y t} + e^{j\omega_x t}e^{j\omega_y t}\
&= (e^{-j\omega_y t} + 2 + e^{j\omega_y t})(- e^{-j\omega_x