26、图像频域处理中的变换特性与应用

图像频域处理中的变换特性与应用

1. 傅里叶变换的性质

1.1 平移不变性

图像的空间频率分解不依赖于图像中特征的位置。当所有特征平移固定量或从不同位置获取图像时，其傅里叶变换的幅度不变，此性质称为平移不变性。
设 (p(t)) 的延迟版本为 (p(t - s))（(s) 为延迟量），其傅里叶变换为 (J[p(t - s)])，则有：
[J[p(t - s)] = e^{-jus}P(u)]
其傅里叶变换的幅度为：
[|J[p(t - s)]| = |e^{-jus}P(u)| = |e^{-jus}||P(u)| = |P(u)|]
因为指数函数的幅度为 1.0，所以平移后图像的傅里叶变换幅度等于原始图像的幅度。不过，平移后变换的相位会改变，其相位为：
[\arg(J[p(t - s)]) = \arg(e^{-jus}P(u))]

Python 实现平移操作的代码如下：

for x,y in itertools.product(range(0, width), range(0, height)):
    xShift = (x - shiftDistance) % width 
    shiftImage[y,x] = inputImage[y,xShift]

这里的 shiftDistance 定义了沿 (x) 轴的水平平移长度，使用取模运算 % 实现循环平移。

例如，原始图像沿 (x) 和 (y) 轴平移后，其傅里叶变换