52、交换半环上牛顿法的收敛性及相关应用

交换半环上牛顿法的收敛性及相关应用

1. 牛顿法收敛性基础

在交换半环上研究牛顿法的收敛性时，涉及到树的重定位过程。通过不同的泵树选择，会产生多种可能的“余数”，进而得到不同的树 $\tilde{t}$。对于每个推导树 $t$，都存在一个维度至多为 $l(t)$ 的帕里赫等价树 $\tilde{t}$。利用这个结果，能将每个 $\tilde{t}$ 的维度降低到至多 $\dim(t_1) = l(t) + k$，从而得到至少 $2^{2k}$ 个不同的帕里赫等价树。

若将 $t_2$ 作为重定位过程的源，$t_1$ 作为目标，可得到一个更好的下界 $2^{1 + 2k}$。

有这样一个语法 $H$：$Y \to BY | BX$，$B \to b$，$X \to aXX | c$，它表明在不考虑语法结构的情况下，无法对系数 $\nu(n + 1 + k)(v)$ 给出非均匀的全局界。

当一个 $\omega$-连续半环 $S$ 满足等式 $k = k + 1$ 时，称其在正整数 $k$ 处坍缩。例如，半环 $N_k\langle\langle A^*\rangle\rangle$ 和 $N_k\langle\langle A^{\oplus}\rangle\rangle$ 在 $k$ 处坍缩，当 $k = 1$ 时，该半环是幂等的。

1.1 牛顿法收敛推论

对于在 $k$ 处坍缩的交换半环上具有 $n$ 个变量的任何代数系统，牛顿法在 $n + \log\log k$ 次迭代内收敛。

2. 应用

2.1 有界重数的帕里赫定理

Petre 定义了 $N_{\infty}\