7、折扣成本图中最短路径问题的复杂度分析

折扣成本图中最短路径问题的复杂度分析

1. 引言

经典的最短路径问题是在一个有限有向图中，确定从给定源顶点到给定目标顶点的最小成本路径，图的边用数值域中的成本进行标记，路径的成本是其所包含边的成本之和。在广义最短路径问题中，每条边除了成本，还标记了一个折扣因子：在每一步，后续每条边的成本都会按当前折扣因子进行缩放。这种未来折扣形式在马尔可夫决策过程研究以及系统定量分析中有所应用，计算具有此类未来折扣的最短路径问题可以在多项式时间内解决。

然而，现有的广义最短路径研究仅考虑未来折扣，实际上还有一些自然的变体用于在有折扣的情况下为路径关联成本，例如过去折扣（即边的折扣应用于所有过去边的成本）和全局折扣（即每条成本按路径中所有边的折扣因子进行缩放）。本文旨在对具有不同折扣概念的模型的最短路径问题进行系统研究。

我们定义的一般类折扣最短路径问题的框架基于最近提出的正则函数概念，该函数将输入字母表 Σ 上的字符串映射到具有指定操作集的数值域。对于我们的目的，数值域 D 由对 (c, d) 组成，其中 c 表示增量成本，d 表示折扣因子，(0, 1) 是单位元，二元折扣和运算定义为 (c1, d1) ⊗(c2, d2) = (c1 + d1 ∗c2, d1 ∗d2)。折扣成本寄存器自动机（DCRA）是一种确定性机器，它使用有限状态控制和包含 D 中值的有限寄存器集，将输入字母表上的字符串映射到成本值。不同版本的折扣最短路径问题实际上是 DCRA 最小成本问题的特殊情况，即给定一个由 DCRA 定义的函数，找到成本最小的字符串。

为了解决单寄存器 DCRA 的最小成本问题，我们关注具有过去 - 未来折扣的图中的最短路径问题，该问题推广了未来折扣、过去折扣和全局折扣等问题。我