8、并行MRI中正则化图像重建技术指南

并行MRI中正则化图像重建技术指南

在并行MRI图像重建领域，正则化方法是解决复杂线性问题、提高图像质量的关键技术。本文将深入探讨多种正则化方法，包括共轭梯度法、Krylov子空间方法、Landweber方法以及基于l1先验的正则化方法，为你详细解析这些方法的原理、步骤和应用场景。

1. 矩阵求逆与迭代算法

在解决线性方程组时，方程(2.12)的逆矩阵可以通过奇异值分解（SVD）或直接计算得到。在Tikhonov正则化（TR）中，会对解的每个SVD分量添加阻尼，从而有效过滤掉对应小奇异值的分量。正则化参数的选择对于得到良好的解至关重要。

然而，对于高维问题，方程(2.12)的伪逆矩阵计算非常耗时，因为直接求逆和SVD都需要对N×N矩阵进行O(N³)次运算，这可能会消耗过多的时间和内存。由于方程(2.12)是一个凸优化问题，任何用于解决此类问题的迭代算法都可以用来求解。这些迭代方法可以避免与方程数量增加相关的分解，从而显著降低分解带来的计算成本。常见的迭代方法包括共轭梯度最小二乘法（CGLS）、广义最小残差法（GMRES）、拟最小残差法（QMR）等Krylov子空间方法。

2. 共轭梯度法（CG）

共轭梯度法（CG）是由Hestenes和Stiefel在1952年提出的，用于求解具有对称正定系数的大型线性方程组。该方法不需要计算系统的特征值，是一种更直接的求解线性方程的方法。而且，CG算法的实现简单，所需的存储空间也很少。

一个矩阵A是对称的，当且仅当A = Aᵀ；是正定的，当且仅当对于任意非零向量x，有xᵀAx > 0。如果矩阵是对称的，其特征值是实数，且对应不同特征值的特征向量是正交的。矩阵A是正定（或半正定