15、概率与量子比特：从基础概念到实际应用

概率与量子比特：从基础概念到实际应用

1. 概率基础概念

1.1 期望值

期望值是概率分布中的一个重要概念。对于一个离散随机变量 (X)，若其取值为 ({x_1, x_2, \cdots, x_n})，对应的概率为 (p_k)，且 (p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1)，则期望值 (E(X)) 或 (\mu(X)) 可通过以下公式计算：
- 当为均匀分布时，每个 (p_k = \frac{1}{n})，(E(X) = \mu(X) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n})。
- 一般情况下，(E(X) = \mu(X) = p_1x_1 + p_2x_2 + \cdots + p_nx_n)。

例如，对于随机变量 (X) 的取值及概率如下表：
| 值 | 概率 |
| ---- | ---- |
| 2 | 0.14 |
| 5 | 0.22 |
| 9 | 0.37 |
| 13 | 0.06 |
| 14 | 0.21 |

其期望值 (E(X) = 2×0.14 + 5×0.22 + 9×0.37 + 13×0.06 + 14×0.21 = 8.43)。

1.2 方差与标准差

方差用于衡量随机变量取值与期望值的偏离程度。对于均匀分布，可通过 (\frac{|x_1 - E(X)| + |x_2 - E(X)| + \cdots + |x_n - E(X)|}{n}) 计算平均偏离程度，但绝对值在计算中较复杂，因此定义方差 (Var(X)) 如下：
- 对于