13、线性代数中的关键概念：酉变换、基变换、特征向量等

线性代数中的关键概念：酉变换、基变换、特征向量等

1. 酉变换

1.1 格拉姆 - 施密特正交化

从一组向量 (X = {x_1, x_2, \cdots, x_n}) 出发，可以通过格拉姆 - 施密特正交化过程得到一组正交向量 (Y = {y_1, y_2, \cdots, y_n})。具体步骤如下：
- 首先定义 (y_1 = x_1)。
- 然后 (y_2 = x_2 - \text{proj} {y_1}(x_2))，其中 (\text{proj} {y_1}(x_2)=\frac{\langle y_1, x_2\rangle}{\langle y_1, y_1\rangle}y_1)，可以验证 (\langle y_1, y_2\rangle = 0)，即 (y_1) 和 (y_2) 正交。
- 接着定义 (y_3 = x_3 - \text{proj} {y_1}(x_3) - \text{proj} {y_2}(x_3))。
- 以此类推，直到 (y_n = x_n - \text{proj} {y_1}(x_n) - \text{proj} {y_2}(x_n) - \cdots - \text{proj} {y {n - 1}}(x_n))。
- 最后将每个 (y_j) 归一化，得到 (\hat{y}_j=\frac{y_j}{|y_j|})，这样 (Y) 就成为一组标准正交基，且与 (X) 张成相同的子空间。

1.2 酉矩阵的定义和性质

一个复方阵 (U) 是酉矩阵，如果它的伴随矩阵 (U^{\