5、线性算子与矩阵：从基础概念到实际应用

线性算子与矩阵：从基础概念到实际应用

1. 引言

在工程领域，掌握线性概念（如线性模型、电路和滤波器理论）是攻克非线性问题的基础。然而，学生在记忆矩阵求逆或解方程组等过程时，往往会忽略问题的本质和相关知识。本文旨在提供线性电路和滤波器理论中关键概念的统一视图，强调相关概念之间的联系，并通过丰富的示例阐释各种方法。

2. 域上的向量空间

2.1 域的定义

域 (F) 是一个非空集合，包含加法和乘法两种二元运算，满足以下性质：
1. 结合律 ：((a + b) + c = a + (b + c))；((ab)c = a(bc))
2. 交换律 ：(a + b = b + a)；(ab = ba)
3. 分配律 ：(a(b + c) = (ab) + (ac))
4. 单位元 ：存在加法单位元 (0) 使得 (a + 0 = a)；存在乘法单位元 (1) 使得 (a1 = a)
5. 逆元 ：对于每个 (a \in F)，存在加法逆元 (b) 使得 (a + b = 0)；对于非零 (a \in F)，存在乘法逆元 (b) 使得 (ab = 1)

常见的域包括实数域 (R)、复数域 (C)、实系数有理函数域 (R(s)) 和二进制数域。

2.2 向量空间的定义

(F) - 向量空间 (V) 是一个非空集合，与域 (F) 一起，包含加法 (+) 和标量乘法 (\ast) 两种二元运