数据结构:树状数组详解

一. 背景

   那么我们为什么要用树状数组呢? 

在解决一些区间求和的问题中 , 简单描述就是，对于一个给定的数组A，希望能够设计一个update函数来修改其中一个数的值，然后再设计一个sum函数来计算数组下标再给定参数l和r之间的值之和。关键点在于这两个函数可能被无数次调用，所以需要保证两个函数的复杂度都要小。

平时我们对这类问题常用的两种方法是 : 

1>暴力算法

update 函数采用对数组直接修改的方式。 O(1) ,     对于sum 函数，返回数组 nums 中索引 left 和索引 right 之间（ 包含 ）的nums元素的和，但是这道题的操作数很大，会超时。 O(n)

2>前缀和算法

sum函数，考虑前缀和的方法，也就是采用动态规划的方法，设计一个新的数组sums来表示前缀和。

其基本思想为， sums [i]表示A[0]+A[1]+A[2]+...+A[i-1]。具体操作的时候我们只需要设置sums[i] = sums[i-1]+A[i-1]即可。

如果希望计算数组下标从l到r的区间和，只需要计算sums[r+1]-sums[l]即可。希望使用这种方式达到简化计算复杂度的目的。 但是，这时候需要考虑update函数，当我们对数组A直接进行修改值之后，我们发现sums数组也需要进行修改。

举个栗子：

原数组：A= {1,2,3,4,5}